Để chứng minh rằng \(BHCD\) là hình bình hành và \(I\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \(ABC\), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản của tam giác và các điểm đặc biệt.

**Phần a: Chứng minh \(BHCD\) là hình bình hành**

1. **Xác định các điểm:**
- \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
- \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\).
- \(D\) là điểm nằm trên đường đối của \(MH\) sao cho \(MH = MD\).

2. **Xét tính chất:**
- Vì \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\), nên từ điểm \(H\) đến \(M\) và từ \(M\) đến \(D\) cũng có tính chất đối xứng qua \(M\). Điều đó có nghĩa là góc \(MHA = MDH\) do tính chất đối xứng.
- Ta có:
\(HM = MD\) (theo giả thiết),
\(BH = DH\) (do \(D\) nằm trên đường tiếp tuyến đối với \(MH\)).

3. **Xét cạnh:**
- Từ \(H\), qua \(D\) ta có đoạn thẳng \(HD\) song song với đoạn \(BC\).
- Do đó:
- \(BH \parallel CD\) và \(BH = CD\) (bằng nhau do định nghĩa trung điểm \(M\) và tính chất đối xứng của \(D\) đối với \(M\)).
- \(BC \parallel HD\).

4. **Kết luận:**
- Với các cặp cạnh đối diện \(BH\) và \(CD\) bằng nhau và song song, ta có \(BHCD\) là hình bình hành.

**Phần b: Chứng minh rằng \(I\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \(ABC\)**

1. **Điểm \(I\):**
- \(I\) là trung điểm của đoạn \(AD\). Để chứng minh \(I\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \(ABC\), ta cần chứng minh rằng \(I\) cách đều các đỉnh của tam giác \(ABC\).

2. **Tính chất độ dài:**
- Gọi \(A\), \(B\), \(C\) là tọa độ các đỉnh tương ứng trong tam giác. Từ giả thiết, ta có:
- \(IH = ID\) (vì \(I\) là trung điểm của \(AD\) và \(D\) là đối xứng của \(H\)).
- Do đó, \(IB = IH\) và \(IC = IH\).

3. **Kết luận:**
- Vậy \(I\) là điểm cách đều ba đỉnh \(A\), \(B\), \(C\), cho thấy rằng \(I\) chính là giao điểm các đường trung trực của tam giác \(ABC\).

Mọi điều trên chứng minh rằng \(BHCD\) là hình bình hành và \(I\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \(ABC\).