Để chứng minh bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và các góc tạo bởi các dây cung.

**a) Chứng minh rằng \( sd \ AN = sd \ BM \)**:

1. Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( M, N \) là hai điểm trên cung nhỏ \( AB \) sao cho \( AM = BN \).
2. Gọi các góc:
- \( \angle OAM \) là góc tại tâm tương ứng với cung \( AM \).
- \( \angle OAN \) là góc tại tâm tương ứng với cung \( AN \).
- \( \angle OBN \) là góc tại tâm tương ứng với cung \( BN \).
- \( \angle OBM \) là góc tại tâm tương ứng với cung \( BM \).

3. Do \( AM = BN \) nên \( \angle OAM = \angle OBN \) (các góc tương ứng với các cung bằng nhau).

4. Theo định lý về cung và góc, ta có:
\[
sd \ AN = \frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(\angle OAN)
\]
\[
sd \ BM = \frac{1}{2} \times OB \times OA \times \sin(\angle OBM)
\]
Do đó, nếu \( \angle OAN = \angle OBM \) thì \( sd \ AN = sd \ BM \).

**b) Chứng minh rằng hai dây \( AN \) và \( BM \) bằng nhau**:

1. Ta biết rằng dây cung \( AN \) và \( BM \) tạo thành hai tam giác \( \triangle OAN \) và \( \triangle OBM \).
2. Trong hai tam giác này, ta có:
- \( OA = OB \) (bán kính đường tròn).
- \( AM = BN \) (đã cho).
- \( \angle OAN = \angle OBM \) (đã chứng minh ở phần a).

3. Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh, ta có:
\[
AN = BM
\]
Kết luận: \( sd \ AN = sd \ BM \) và \( AN = BM \) đã được chứng minh.