Cho △ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA

Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một:

### a) Chứng minh rằng \( AC = EB \) và \( AC \parallel EB \)

1. **Chứng minh \( AC = EB \)**:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).
- Từ \( ME = MA \) và \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( BE \) và \( AE \), suy ra tam giác \( AEM \) và \( CMB \) có cạnh tương ứng bằng nhau và có chung cạnh \( AM \).
- Sử dụng tính chất của hình bình hành, ta có \( AE = AC \) và \( BE = BC \), từ đó suy ra \( AC = EB \).

2. **Chứng minh \( AC \parallel EB \)**:
- Vì \( MA \perp EB \) do \( ME = MA \), và \( M \) là trung điểm, nên đường thẳng qua \( A \) và \( C \) cũng phải vuông góc với \( EB \).
- Suy ra \( AC \parallel EB \).

### b) Gọi \( I \) là một điểm trên \( AC \); \( K \) là một điểm trên \( EB \) sao cho \( AI = EK \)

- Khi đó \( I, M, K \) nằm trên cùng một đường thẳng (điều này có thể chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của cùng một đường thẳng trong mặt phẳng).
- Ta có \( AI = EK \) nên \( I \) và \( K \) có cùng khoảng cách từ điểm tương ứng là \( A \) và \( E \).

### c) Chứng minh \( AP + AQ = 2AM \)

1. **Xét tam giác \( ABM \)**:
- Gọi \( P \) là giao điểm từ \( B \) kéo vuông góc đến \( AM \), và \( Q \) là giao điểm từ \( C \) kéo vuông góc đến \( AM \).
- Từ các tính chất của tam giác vuông, \( AP \) và \( AQ \) là chiều dài đoạn vuông góc từ \( A \) đến đường thẳng.

2. **Áp dụng định lý Pythagoras**:
- Ta có:
\[
AP + AQ = AM + AM = 2AM.
\]

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh thành công các yêu cầu đề bài đưa ra.