Để chứng minh \( M \) là trung điểm của \( BC \) trong bài toán này, ta dựa vào các bước sau:

**Bước 1: Gọi các điểm và các đoạn thẳng.**
- Gọi \( M \) là hình chiếu của \( A \) lên đường thẳng \( BC \).
- Đặt \( H \) là chân đường cao \( AH \) từ \( A \) xuống \( BC \).

**Bước 2: Sử dụng đặc điểm tam giác vuông.**
- Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có \( AB \) vuông góc với \( AC \). Theo định nghĩa, \( AH \) sẽ là chiều cao từ \( A \) xuống \( BC \).

**Bước 3: Chứng minh độ dài các đoạn thẳng.**
- Trong tam giác \( ABC \) vuông, ta có \( AH \) vuông góc với \( BC \), vì vậy \( H \) nằm trên \( BC \).
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
với các giá trị đã cho là \( AB = 3cm \) và \( BC = 5cm \), ta có thể tính được \( AC \).

**Bước 4: Chứng minh M là trung điểm.**
- Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là các điểm giao của các đường thẳng vuông góc từ \( H \) đến \( AB \) và \( AC \).
- Nếu \( ADHE \) là hình chữ nhật, thì ta có \( AD = HE \) và \( AE = DH \).

**Bước 5: Kết luận.**
- Do đó, từ việc chứng minh rằng \( AH \) là chiều cao và các đoạn thẳng là bằng nhau, ta có:
\[
BM = MC
\]
- Suy ra \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

Kết luận, ta đã chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \) thông qua các tính chất của tam giác vuông và hình chữ nhật trong bài toán.