Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
3x + \frac{2}{|y-1|} = 5 \\
2x - \frac{1}{|y-1|} = 1
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Giải phương trình đầu tiên**:
\[
\frac{2}{|y-1|} = 5 - 3x
\]
Từ đó, suy ra:
\[
|y - 1| = \frac{2}{5 - 3x}
\]

2. **Giải phương trình thứ hai**:
\[
\frac{1}{|y-1|} = 2x - 1
\]
Suy ra:
\[
|y - 1| = \frac{1}{2x - 1}
\]

3. **Sử dụng hai kết quả trên**:
\[
\frac{2}{5 - 3x} = \frac{1}{2x - 1}
\]

4. **Tiến hành nhân chéo**:
\[
2(2x - 1) = 5 - 3x
\]
Giải phương trình này:
\[
4x - 2 = 5 - 3x
\]
\[
4x + 3x = 5 + 2
\]
\[
7x = 7 \implies x = 1
\]

5. **Thay giá trị \(x = 1\) vào một trong các phương trình để tìm \(y\)**:
Từ phương trình đầu tiên:
\[
3(1) + \frac{2}{|y-1|} = 5
\]
\[
3 + \frac{2}{|y-1|} = 5
\]
\[
\frac{2}{|y-1|} = 2 \implies |y - 1| = 1
\]

Từ đây, ta có hai trường hợp:
- \(y - 1 = 1 \implies y = 2\)
- \(y - 1 = -1 \implies y = 0\)

6. **Kết luận**:
Hệ phương trình có hai nghiệm:
- \( (x, y) = (1, 2) \)
- \( (x, y) = (1, 0) \)

Do đó, nghiệm của hệ phương trình là:
\[
\{(1, 2); (1, 0)\}
\]