Để rút gọn biểu thức \( AA = -\frac{1}{20} - \frac{1}{20 \cdot 19} - \frac{1}{19 \cdot 18} - \cdots - \frac{1}{2 \cdot 1} \), ta có thể nhận thấy rằng mỗi thành phần trong chuỗi này đều có dạng tổng quát:

\[
-\frac{1}{n(n-1)}
\]

Các thành phần từ \( n = 20 \) đến \( n = 2 \) là:

\[
-\frac{1}{20 \cdot 19}, -\frac{1}{19 \cdot 18}, \ldots, -\frac{1}{2 \cdot 1}
\]

Chúng ta có thể viết lại tổng của các phần tử này bằng cách sử dụng công thức phân tích phân số:

\[
-\frac{1}{n(n-1)} = -\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)
\]

Vậy nên:

\[
AA = -\sum_{k=2}^{20} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right)
\]

Khi thực hiện phép tính tổng này, ta sẽ thấy rằng nó là một chuỗi tuần hoàn (telescoping series):

\[
AA = -\left(\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{20}\right)\right)
\]

Phần tử trong chuỗi sẽ huỷ hoại nhau, và khi tính toán tổng lại, chúng ta sẽ được:

\[
AA = -\left(1 - \frac{1}{20}\right)
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
AA = -\left(1 - 0.05\right) = -0.95
\]

Từ đó, ta có thể viết lại:

\[
AA = -\frac{19}{20}
\]

Bản chất của biểu thức \( AA \) đã được rút gọn thành:

\[
AA = -\frac{19}{20}
\]