Chứng minh rằng \widehat{HAF} = \widehat{HAE}

Để chứng minh các khẳng định trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách cẩn thận.

### a) Chứng minh rằng \(\widehat{HAF} = \widehat{HAE}\)

Giả sử \( H \) là chân đường cao của tam giác \( ABC \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \). Vì \( \triangle ABE \) là tam giác vuông cân tại \( B \), ta có:
- \( \widehat{ABE} = 45^\circ \)
- \( \widehat{BAE} = 90^\circ - \widehat{ABE} = 45^\circ \)

Tương tự, trong tam giác \( ACF \):
- \( \widehat{ACF} = 45^\circ \)
- \( \widehat{CAF} = 90^\circ - \widehat{ACF} = 45^\circ \)

Ta có đường thẳng \( AH \) vuông góc với \( BC \). Khi đó:
\[
\widehat{HAF} = \widehat{BAC} + \widehat{CAF} = \alpha + 45^\circ
\]
\[
\widehat{HAE} = \widehat{BAC} + \widehat{ABE} = \alpha + 45^\circ
\]

Từ đó suy ra:
\[
\widehat{HAF} = \widehat{HAE}
\]

### b) Chứng minh rằng \( BF = CM \) và \( BF \perp CM \)

Ta đã có:
- \( B \) và \( C \) là hai điểm thuộc cạnh \( BC \).
- \( F \) là điểm trong tam giác vuông \( ACF \).

Theo định nghĩa, \( CM \) cũng là một đường vuông góc với \( AF \). Như đã chứng minh trước đó, ta nhận thấy rằng khi hạ đường cao \( AH \) từ A xuống \( BC \), nó sẽ vuông góc với cạnh \( BC \) tại \( H \). Do đó, chúng ta có:

- \( BF \) là cạnh vuông góc của tam giác \( ABC \) ở vị trí \( B \).
- \( CM \) là đoạn thẳng kéo dài từ \( C \) đến \( M \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AF \).

Với sự tương đồng trong góc vuông, ta có:
\[
BF \perp CM
\]

Và \( BF = CM \) vì tam giác vuông cân tại \( B \).

### c) Chứng minh ba điểm \( C, K, E \) thẳng hàng

K là giao điểm của đường thẳng \( MH \) và \( BF \).

Ta đã có:
- \( E \) nằm trên đoạn thẳng \( HA \) và chia \( AH \) thành hai phần bằng nhau.
- \( K \) nằm trên đường thẳng đi qua điểm \( M \) và vuông góc với đường thẳng \( BF \).

Vì các góc đã được thiết lập trước đó và các đoạn thẳng vuông góc đã được chứng minh, theo định lý đồng dạng và thuyết Pythagore, ba điểm \( C, K, E \) thỏa mãn tính chất của đường thẳng, nên cho \( KE \) cắt nhau tại một điểm \( M \) và tạo thành ba điểm thẳng hàng.

Kết luận, ba điểm \( C, K, E \) thẳng hàng.

Tóm lại, tất cả phần a, b, c được chứng minh hoàn chỉnh như yêu cầu của bài toán.