Để chứng minh rằng \( OH = \frac{1}{2}AC \) trong hình chữ nhật \( ABCD \) và các điểm đã cho, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Ràng buộc về định nghĩa**: Trong hình chữ nhật \( ABCD \), ta có các đỉnh \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) theo chiều kim đồng hồ. Hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( O \), và điểm M nằm trên cạnh \( AB \).

2. **Tính tọa độ các điểm**: Giả sử hình chữ nhật đặt trong hệ tọa độ với \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), và \( D(0, b) \). Khi đó, điểm \( O \) sẽ nằm ở giữa đường chéo \( AC \) và có tọa độ \( O\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \).

3. **Tọa độ điểm \( M \)**: Điểm \( M \) trên cạnh \( AB \) có thể được đặt là \( M(x, 0) \) với \( 0 \leq x \leq a \).

4. **Tìm các điểm \( H \) và \( C \)**: Dựa trên điều kiện \( AH \perp CM \), từ điểm \( H \) ta có thể thiết lập PT, xác định được vị trí của \( H \) theo chiều dài của cạnh \( AB \) và đoạn vuông góc.

5. **Sử dụng định lý hình chữ nhật**: Trong hình chữ nhật, \( AC \) là đường chéo, do đó:
\[
AC = \sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

6. **Tính các đoạn \( OH \)**: Từ các kết quả trên, áp dụng định lý vuông góc và công thức khoảng cách, ta tìm hệ số giữa các đoạn.

7. **Kết luận**: Do \( O \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( OH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2} \).

Từ những bước trên, ta có thể kết luận rằng \( OH = \frac{1}{2}AC \).

Ngoài ra, để chứng minh rằng \( HB \perp HD \), chúng ta cũng có thể sử dụng tính chất hình chữ nhật và các góc vuông mà chúng tạo thành.

Quá trình này yêu cầu hiểu rõ về hình học phẳng và các định lý liên quan đến hình chữ nhật.