Để xác định số nguyên tố hay hợp số cho các số được cho, ta sẽ phân tích từng trường hợp một:

a) **A = 11...111 (2001 chữ số 1)**:
Số này có thể được viết dưới dạng \( A = \frac{10^{2001} - 1}{9} \).
Để kiểm tra tính nguyên tố, ta có thể thấy rằng 2001 = 3 × 667, vì vậy \( A \) có thể chia hết cho \( \frac{10^3 - 1}{9} = 111 \) (số này là hợp số). Do đó, A là hợp số.

b) **B = 11...111 (2000 chữ số 1)**:
Số này cũng có thể viết là \( B = \frac{10^{2000} - 1}{9} \).
Tương tự, 2000 = 2^4 × 5^3. Vì 2000 có nhiều ước số, số này cũng là hợp số.

c) **C = 1010101**:
Phân tích số này, ta có:
\[
1010101 = 1000000 + 10000 + 100 + 1 = 10^6 + 10^4 + 10^2 + 1
\]
Ta thấy rằng 1010101 = 101 × 10001 = 101 × 101 × 99 + 02, cho nên 1010101 là hợp số.

d) **D = 1112111**:
Số này có thể được kiểm tra bằng cách thử chia cho các số nguyên tố nhỏ, hoặc sử dụng máy tính hoặc phần mềm hỗ trợ. Kiểm tra theo cách thủ công hoặc thông qua các thuật toán, ta sẽ phát hiện rằng 1112111 là hợp số (cụ thể là 1112111 = 101 × 11011).

e) **E = 1! + 2! + ... + 100!**:
Các giai thừa từ 3! trở lên đều chẵn, và 1! và 2! có thể tính ra:
\[
1! + 2! + 3! + ... + 100! = 1 + 2 + (chẵn) + (chẵn) + ... > 3
\]
Tóm lại, E là một số chẵn lớn mà rõ ràng lớn hơn 2, vì vậy nó không là số nguyên tố (tất cả các số chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số).

**Kết luận**:
- A: Hợp số
- B: Hợp số
- C: Hợp số
- D: Hợp số
- E: Hợp số