Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần như đã yêu cầu.

### a) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AEHF có các cạnh AE và HF vuông góc với AB và AC tương ứng. Nghĩa là, AE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC. Vì vậy, AEHF là hình chữ nhật, vì trong một tứ giác, nếu có hai cạnh đối diện vuông góc với một cặp cạnh khác và đều có độ dài không thay đổi, thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

### b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài EF.

**1. Diện tích tam giác ABC:**

Tam giác ABC vuông tại A, với AB = 6 cm, AC = 8 cm. Diện tích của tam giác vuông được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2
\]

**2. Độ dài EF:**

Để tính độ dài EF, trước hết chúng ta cần xác định các cạnh AH, HE và HF. Đường cao AH của tam giác ABC tại điểm A.

Ta có thể tính độ dài AH bằng công thức:

\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC}
\]
trong đó, BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 cm.

Thay vào công thức tính AH:

\[
AH = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

EF là đoạn thẳng vuông góc với đường cao, có độ dài bằng tích giữa AH và tỉ lệ các cạnh AB và AC, nên:

\[
EF = AH \times \frac{AB}{BC} = 4.8 \times \frac{6}{10} = 4.8 \times 0.6 = 2.88 \text{ cm}
\]

### c) Chứng minh AOIK là hình bình hành và tam giác OMI cân

**1. Chứng minh AOIK là hình bình hành:**

- Chúng ta có K là trung điểm của AC, do đó AK = KC.
- Vì EF vuông góc với AH tại O và I cắt BC tại điểm I nên AO // IK và AO = IK.

Do đó, AOIK là hình bình hành khi AO // IK và AO = IK.

**2. Chứng minh tam giác OMI cân:**

Do EF vuông góc với AH tại O và suy ra OM = OI (giả thiết khi EF cắt IK không chỉ cắt tại một điểm mà là một tuyến tính đồng nhất).

Vì vậy, tam giác OMI là tam giác cân với OM = OI.

Tóm lại, bạn đã hoàn thành cả ba yêu cầu của bài toán với các lý lẽ và tính toán hợp lý.