Chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một:

a) \( \exists r \in \mathbb{Q}, 4r^2 - 1 = 0 \).

- **Đúng**: Giải phương trình \( 4r^2 - 1 = 0 \) cho \( r \), ta có \( r = \pm \frac{1}{2} \), đều thuộc số hữu tỉ (\( \mathbb{Q} \)).

b) \( \forall n \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n \) không chia hết cho 11.

- **Sai**: Tổng \( 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2} \) có thể chia hết cho 11 cho một số giá trị nhất định của \( n \) (ví dụ \( n = 10 \)).

c) \( \exists n \in \mathbb{Z}, n^2 + n + 1 \) là một số chẵn.

- **Đúng**: Nếu \( n \) là số chẵn (\( n = 2k \)), thì \( n^2 + n + 1 \) cũng là chẵn.

d) \( \forall x \in \mathbb{Z}, \frac{2x^3 - 6x^2 + x - 3}{2x^2 + 1} \in \mathbb{Z} \).

- **Sai**: Xét giá trị của biểu thức với các giá trị khác nhau của \( x \). Ví dụ, nếu \( x = 1 \), ta có \( \frac{2(1)^3 - 6(1)^2 + 1 - 3}{2(1)^2 + 1} = \frac{-6}{3} = -2\) (cũng chẵn), nhưng với \( x = 0 \), ta nhận được \( \frac{-3}{1} = -3 \) (cũng nguyên), còn với \( x = 2 \), cho giá trị là một số nguyên, nhưng cần kiểm tra nhiều giá trị khác. Có thể có trường hợp không phải là số nguyên.

Tóm lại:
- a) Đúng
- b) Sai
- c) Đúng
- d) Không thể chắc chắn.