Để giải hệ phương trình đã cho:

\[
\begin{cases}
-2mx + y = 5 \\
mx + 3y = 1
\end{cases}
\]

### a) Giải hệ phương trình với \(m = 1\)

Thay \(m = 1\):

\[
\begin{cases}
-2x + y = 5 \quad (1) \\
x + 3y = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ (1), ta có:

\[
y = 2x + 5
\]

Thay \(y\) vào (2):

\[
x + 3(2x + 5) = 1
\]
\[
x + 6x + 15 = 1
\]
\[
7x + 15 = 1
\]
\[
7x = 1 - 15
\]
\[
7x = -14 \implies x = -2
\]

Sau đó, thay \(x = -2\) vào (1) để tìm \(y\):

\[
y = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình với \(m = 1\) là:

\[
(x, y) = (-2, 1)
\]

### b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
-2mx + y = 5 \quad (1) \\
mx + 3y = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ (1), ta có \(y = 2mx + 5\). Thay \(y\) vào (2):

\[
mx + 3(2mx + 5) = 1
\]
\[
mx + 6mx + 15 = 1
\]
\[
7mx + 15 = 1
\]
\[
7mx = 1 - 15
\]
\[
7mx = -14 \implies x = \frac{-14}{7m} = \frac{-2}{m} \quad (m \neq 0)
\]

Thay \(x\) vào (1) để tìm \(y\):

\[
y = 2m\left(\frac{-2}{m}\right) + 5 = -4 + 5 = 1
\]

Vậy nghiệm của hệ là:

\[
(x, y) = \left(\frac{-2}{m}, 1\right) \quad (m \neq 0)
\]

### c) Tìm \(m\) để hệ có nghiệm \((x, y)\) thoả mãn \(x + y = 5\)

Ta có:

\[
\frac{-2}{m} + 1 = 5
\]
\[
\frac{-2}{m} = 4 \implies -2 = 4m
\]
\[
m = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy \(m = -\frac{1}{2}\) là giá trị để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn \(x + y = 5\).

Tóm lại:
- Nghiệm với \(m = 1\): \((-2, 1)\)
- Tham số \(m\): \((x, y) = \left(\frac{-2}{m}, 1\right)\)
- Giá trị \(m\) cần thiết cho \(x + y = 5\): \(m = -\frac{1}{2}\)