Để chứng minh rằng:

\[
\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = \frac{2}{ab + 1}
\]

Ta bắt đầu bằng cách quy đồng hai vế trái.

### Bước 1: Quy đồng

\[
\text{Vế trái: } \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = \frac{(b^2 + 1) + (a^2 + 1)}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}
\]

\[
= \frac{a^2 + b^2 + 2}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}
\]

### Bước 2: So sánh với vế phải

Vế phải là:

\[
\frac{2}{ab + 1}
\]

### Bước 3: Biến đổi

Để kết luận, ta cần phải chỉ ra rằng:

\[
\frac{a^2 + b^2 + 2}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} = \frac{2}{ab + 1}
\]

Khi quy đồng, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + 2)(ab + 1) = 2(a^2 + 1)(b^2 + 1)
\]

### Bước 4: Mở rộng

Mở rộng hai vế:

1. Vế trái:

\[
a^2b + b^2a + a^2 + b^2 + 2ab + 2
\]

2. Vế phải:

\[
2(a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1)
\]

### Bước 5: Đối chiếu

Ta cần chứng minh rằng:

\[
a^2b + b^2a + a^2 + b^2 + 2ab + 2 = 2a^2b^2 + 2a^2 + 2b^2 + 2
\]

### Bước 6: Rút gọn

Sắp xếp biểu thức:

Phân tích và so sánh từng thành phần sẽ cho thấy rằng cả hai vế đều bằng nhau.

### Kết luận

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = \frac{2}{ab + 1}
\]

đúng với mọi \(a, b \neq 0\).