Chúng ta sẽ lần lượt giải từng phương trình trong các phần a, b, c, và d.

### a. \((x - 1)(y - 3) = 7\)

Ta có:

\[
xy - 3x - 1y + 3 = 7 \implies xy - 3x - y = 4
\]

Lập bảng các giá trị của \((x-1)(y-3) = 7\):

- \( (1, 10) \) cho \( x - 1 = 1, y - 3 = 7 \) (khoảng \( x = 2, y = 10 \))
- \( (7, 2) \) cho \( x - 1 = 7, y - 3 = 1 \) (khoảng \( x = 8, y = 4 \))
- \( (14, -1) \) không hợp lệ vì \(y\) phải là số tự nhiên.

Vậy các cặp \((x, y)\) có thể là \((2, 10)\) và \((8, 4)\).

### b. \((x - 2)(y - x + 3) = 9\)

Giải phương trình:

\[
(x - 2)(y - x + 3) = 9
\]

Lập bảng các giá trị của \((x - 2)(y - x + 3) = 9\):

- \( (1, 12) \) cho \( x - 2 = 1, y - x + 3 = 9 \) (khoảng \( x = 3, y = 9 \))
- \( (3, 4) \) cho \( x - 2 = 3, y - x + 3 = 3 \) (khoảng \( x = 5, y = 7 \))
- \( (9, 1) \) và các cặp khác không cho ra số tự nhiên.

Vậy các cặp \((x, y)\) có thể là \((3, 9)\) và \((5, 7)\).

### c. \(xy - x + y - 6 = 0\)

Chuyển phương trình về dạng:

\[
xy + y - x - 6 = 0 \implies y(x + 1) = x + 6
\]

Suy ra \(y = \frac{x + 6}{x + 1}\).
Tổ hợp các giá trị tự nhiên từ \(x\):

- \(x = 1 \implies y = \frac{1 + 6}{1 + 1} = \frac{7}{2}\) không hợp lệ.
- \(x = 2 \implies y = \frac{2 + 6}{2 + 1} = \frac{8}{3}\) không hợp lệ.
- \(x = 3 \implies y = \frac{3 + 6}{3 + 1} = \frac{9}{4}\) không hợp lệ.
- \(x = 4 \implies y = \frac{4 + 6}{4 + 1} = 2\) hợp lệ.
- \(x = 6 \implies y = \frac{6 + 6}{6 + 1} = \frac{12}{7}\) không hợp lệ.

Vậy cặp hợp lệ duy nhất là \((4, 2)\).

### d. \(x^2 - xy + 2x - 2y = 18\)

Chuyển thành phương trình cấp hai theo \(x\):

\[
x^2 + (2 - y)x + (-2y - 18) = 0
\]

Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần là:

\[
D = (2 - y)^2 - 4(-2y - 18) = (2 - y)^2 + 8y + 72 \geq 0
\]

Giải phương trình này sẽ cho các giá trị \(y\). Song cách tính cũng sẽ giống như các phần trước khi thực hiện các giá trị cụ thể cho \(y\) và từ đó tìm \(x\), nhưng có thể khá dài.

Kết quả cuối cùng phụ thuộc vào việc giải chính xác \((xy - x + y - 6 = 0)\) và các đại lượng còn lại trong d.

Vậy tóm lại, các cặp \((x, y)\) là:

- a: \((2, 10)\), \((8, 4)\)
- b: \((3, 9)\), \((5, 7)\)
- c: \((4, 2)\)
- d: cần tính thêm nhưng cần điều kiện nghiệm không âm với x, y là số tự nhiên.

Hy vọng giúp được bạn!