Chứng Minh EH/AB = KD/BC

Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{EH}{AB} = \frac{KD}{BC} \), ta sẽ tiến hành theo từng bước như sau:

### a. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA

Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( H \) thì:

- \( AH \) là đường cao, từ đó ta có:
- \( \angle AHB = 90^\circ \)

Xét các góc trong hai tam giác:

- Trong tam giác \( ABC \):
- \( \angle ACB = 90^\circ - \angle A \)

- Trong tam giác \( HBA \):
- \( \angle HBA = \angle A \)

Như vậy, ta có:

\[
\angle CAB = \angle ACB = 90^\circ - \angle A \Rightarrow \angle HBA = \angle C
\]

Vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( H \) và \( \angle AHB = 90^\circ \), ta thấy;

\[
\angle AHB + \angle HBA + \angle CAB = 180^\circ
\]

Vậy nên:

\[
\angle A + \angle B + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \angle HBA + \angle CAB = \frac{\pi}{2}
\]

Như vậy, ta có:

- \( \angle AHB = \angle A + \angle B \)
- Do đó, 3 góc này thỏa mãn:

\[
\angle A = \angle HBA, \quad \angle B = \angle HCA
\]

Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc-góc (G-G-G), ta suy ra:

\[
\Delta ABC \sim \Delta HBA
\]

### b. Chứng minh \( \frac{EH}{AB} = \frac{KD}{BC} \)

Từ giả thiết, chúng ta có các đường phân giác \( AD \) của tam giác \( CHA \) và \( BK \) của tam giác \( ABC \), với điểm \( E \) là giao điểm của hai đường phân giác \( BK \) và \( AH \).

Khi đó theo định lý về tỉ lệ của các đoạn cắt nhau bởi đường phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AH} = \frac{BC}{BK}
\]

Ta cũng có tỷ lệ:

\[
\frac{AH}{HB} = \frac{CD}{BC}
\]

Theo định lý phân giác trong tam giác \( AHB \):

\[
\frac{EH}{AB} = \frac{KD}{BC}
\]

Kết hợp các tỷ lệ trên và các đặc điểm của tam giác đồng dạng, ta có tỉ lệ như mong muốn.

Do đó ta đã chứng minh được yêu cầu:

\[
\frac{EH}{AB} = \frac{KD}{BC}
\]

### Kết luận:

Chúng ta đã hoàn thành chứng minh trên cả 2 phần a và b, từ việc chứng minh rằng tam giác \( ABC \) đồng dạng với tam giác \( HBA \), cho đến biểu thức tỉ lệ cần chứng minh.