Với mọi \(x \in \left[ {2;\,5} \right]\), ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{m}{{2\sqrt {x - 1} }}\).

Ta thấy dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) phụ thuộc vào dấu của tham số \(m\).

Với mọi \(m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left[ {2;\,5} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;\,5} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right) = m + 2m = 3m\).

Theo bài ra, ta có: \({m^2} - 10 = 3m \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow \)\(m = - 2\) hoặc \(m = 5\).

Vậy \({m_1} + {m_2} = 3\).

Đáp số: \(3\).