Để tính diện tích tam giác đều \( ABC \) với bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \), ta có thể áp dụng công thức liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và cạnh của tam giác đều:

1. Đối với tam giác đều, bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) được tính bằng công thức:
\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]
Trong đó \( a \) là độ dài cạnh của tam giác đều.

2. So sánh với bán kính cho trước \( R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \), ta nhận thấy hai công thức này là tương đương.

3. Từ \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), ta có thể suy ra độ dài cạnh \( a \):
\[
\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}
\]
Điều này dẫn đến kết luận rằng \(\frac{a}{\sqrt{3}} = R\).

4. Diện tích \( S \) của tam giác đều được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
\]

5. Từ \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), có thể giải ra độ dài cạnh \( a \):
\[
a = R \sqrt{3}
\]

6. Thay \( a \) vào công thức tính diện tích:
\[
S = \frac{(R \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4}
\]

7. Thay \( R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \) vào công thức trên, ta có:
\[
S = \frac{3 \left( \frac{a \sqrt{3}}{3} \right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \left( \frac{a^2 \cdot 3}{9} \right) \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
\]

Vậy, diện tích tam giác đều ABC là:
\[
S = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} = R^2 \sqrt{3}
\]

Sử dụng giá trị của \( R \), bạn có thể tính diện tích cụ thể dựa vào \( a \) hoặc \( R \).