Để tìm tham số \( m \) trong hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
mx + 4y = 1 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể giải hệ phương trình bằng cách biến đổi phương trình thứ hai để thay thế vào phương trình thứ nhất.

Từ phương trình thứ hai \( x + y = 2 \), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
y = 2 - x
\]

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình đầu tiên:

\[
mx + 4(2 - x) = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
mx + 8 - 4x = 1
\]
\[
mx - 4x + 8 = 1
\]
\[
(m - 4)x + 8 = 1
\]
\[
(m - 4)x = 1 - 8
\]
\[
(m - 4)x = -7
\]

Từ phương trình trên, ta có một số trường hợp:

1. Nếu \( m - 4 \neq 0 \), thì ta có thể giải được giá trị của \( x \):
\[
x = \frac{-7}{m - 4}
\]
Sau đó, thay giá trị của \( x \) vào phương trình \( y = 2 - x \) để tìm \( y \).

2. Nếu \( m - 4 = 0 \) (tức là \( m = 4 \)), thì hệ phương trình sẽ trở thành:
\[
4x + 4y = 1
\]
\[
x + y = 2
\]
Phương trình đầu tiên có thể chia cho 4, trở thành \( x + y = \frac{1}{4} \), nhưng điều này trái ngược với phương trình \( x + y = 2 \).

Do đó, trong trường hợp \( m = 4 \), hệ phương trình trở thành mâu thuẫn, và không có nghiệm.

Vì vậy, ta có thể kết luận:

- Hệ phương trình có nghiệm khi \( m \neq 4 \).
- Hệ phương trình không có nghiệm khi \( m = 4 \).

Do đó, tham số \( m \) có thể là mọi giá trị thực ngoại trừ \( m = 4 \).