Để phân tích đa thức \( x^3 - y^3 - 3x^2 + 3x - 1 \) thành nhân tử, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Nhóm các hạng tử**: Ta chia đa thức thành hai nhóm: Một nhóm gồm các hạng tử có chứa \( x \) và một nhóm có chứa \( y \).
\[
(x^3 - 3x^2 + 3x) - y^3 - 1
\]

2. **Phân tích nhóm đầu tiên**: Nhóm đầu tiên \( x^3 - 3x^2 + 3x \) có thể được phân tích bằng cách sử dụng công thức hạng tử bậc ba. Ta nhận ra rằng đây là một đa thức lập phương, và có thể viết lại như sau:
\[
x^3 - 3x^2 + 3x = (x - 1)^3
\]

3. **Thay thế vào đa thức**: Giáng hạng tử nhóm đầu tiên lại vào đa thức:
\[
(x - 1)^3 - (y^3 + 1)
\]

4. **Phân tích hạng tử dưới dạng hiệu hai khối lập phương**: Sử dụng công thức:
\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]
để phân tích \( (x - 1)^3 - (y + 1)^3 \):
- Trong trường hợp này, đặt \( a = (x - 1) \) và \( b = (y + 1) \).
\[
a = (x - 1), \quad b = (y + 1)
\]
Áp dụng công thức ta có:
\[
(x - y - 2)((x - 1)^2 + (x - 1)(y + 1) + (y + 1)^2)
\]

5. **Giải quyết hạng tử bậc hai còn lại**: Hạng tử thứ hai là một đa thức bậc hai, có thể giữ nguyên hoặc tiếp tục phân tích.

Kết quả cuối cùng là:
\[
x^3 - y^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - y - 2)((x - 1)^2 + (x - 1)(y + 1) + (y + 1)^2)
\]

Từ đó, ta tìm được phần phân tích nhân tử cho tổng thể đa thức trên.