Gọi H là giao của ba đường cao AI, BJ, CK của tam giác nhọn ABC. Dùng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh:

Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{H I}{A I} + \frac{H J}{B J} + \frac{H K}{C K} = 1
\]

đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác để liên hệ các đoạn thẳng với diện tích của tam giác.

1. **Diện tích tam giác \( ABC \)**:
- Diện tích \( S_{ABC} \) của tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C h
\]

với \( h \) là chiều cao từ đỉnh tới cạnh đối diện.

2. **Diện tích của các tam giác nhỏ**:
- Diện tích của tam giác \( A H B \):

\[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot H I
\]

- Diện tích của tam giác \( B H C \):

\[
S_{BHC} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot H J
\]

- Diện tích của tam giác \( C H A \):

\[
S_{CHA} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot H K
\]

3. **Liên hệ các diện tích**:
- Ta có tổng diện tích của ba tam giác nhỏ bằng diện tích của tam giác lớn:

\[
S_{ABC} = S_{AHB} + S_{BHC} + S_{CHA}
\]

Thay các biểu thức diện tích ở trên vào:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot H I + \frac{1}{2} \cdot B C \cdot H J + \frac{1}{2} \cdot CA \cdot H K
\]

4. **Chia hai vế cho \( S_{ABC} \)**:
- Chia toàn bộ biểu thức trên cho diện tích \( S_{ABC} \):

\[
1 = \frac{H I}{S_{ABC}} + \frac{H J}{S_{ABC}} + \frac{H K}{S_{ABC}}
\]

Điều này cho phép ta viết lại nó bằng các tỷ lệ tương ứng với các đoạn thẳng được yêu cầu là \( \frac{H I}{A I}, \frac{H J}{B J}, \frac{H K}{C K} \).

Khi \( \angle A \) của tam giác \( ABC \) là góc tù, các đường cao từ \( A \), \( B \), \( C \) vẫn tạo thành ba tam giác trong, do đó vẫn giữ nguyên công thức trên mà không thay đổi.

### Kết luận
Vì vậy, công thức sẽ không thay đổi khi góc \( A \) là góc tù, vẫn là:

\[
\frac{H I}{A I} + \frac{H J}{B J} + \frac{H K}{C K} = 1
\]

để khẳng định rằng đẳng thức này đúng trong mọi trường hợp của tam giác nhọn hoặc rộng.