Để tìm điểm M trên cạnh BC sao cho BM = 2MC, chúng ta có thể sử dụng quy tắc phân đoạn.

Đầu tiên, chúng ta cần tính toán tọa độ của điểm M. Giả sử tỉ lệ BM:MC = 2:1, tức là BM = 2/3 BC và MC = 1/3 BC.

Tọa độ điểm B là B(2, -1, 3) và tọa độ điểm C là C(-4, 7, 5).

Tọa độ điểm M có thể được tính bằng công thức:

\[
M = \frac{2C + 1B}{2 + 1} = \frac{2 \cdot C + 1 \cdot B}{3}
\]

Giờ chúng ta sẽ thay tọa độ của B và C vào công thức này.

Tọa độ C là (-4, 7, 5) nên:

\[
2C = 2 \cdot (-4, 7, 5) = (-8, 14, 10)
\]

Tọa độ B là (2, -1, 3) nên:

\[
1B = 1 \cdot (2, -1, 3) = (2, -1, 3)
\]

Bây giờ cộng hai vector này:

\[
M = \frac{(-8, 14, 10) + (2, -1, 3)}{3} = \frac{(-6, 13, 13)}{3} = \left(-2, \frac{13}{3}, \frac{13}{3}\right)
\]

Vậy tọa độ của điểm M là \((-2, \frac{13}{3}, \frac{13}{3})\).

Bây giờ chúng ta sẽ tính độ dài AM. Tọa độ điểm A là A(1, 2, -1).

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều:

\[
AM = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

Trong đó:
- \((x_1, y_1, z_1) = (1, 2, -1)\)
- \((x_2, y_2, z_2) = (-2, \frac{13}{3}, \frac{13}{3})\)

Tính các hiệu số:

\[
x_2 - x_1 = -2 - 1 = -3
\]
\[
y_2 - y_1 = \frac{13}{3} - 2 = \frac{13}{3} - \frac{6}{3} = \frac{7}{3}
\]
\[
z_2 - z_1 = \frac{13}{3} - (-1) = \frac{13}{3} + \frac{3}{3} = \frac{16}{3}
\]

Tính độ dài AM:

\[
AM = \sqrt{(-3)^2 + \left(\frac{7}{3}\right)^2 + \left(\frac{16}{3}\right)^2}
\]

Tính từng phần:

\[
(-3)^2 = 9
\]
\[
\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}
\]
\[
\left(\frac{16}{3}\right)^2 = \frac{256}{9}
\]

Cộng các giá trị lại với nhau:

\[
AM = \sqrt{9 + \frac{49}{9} + \frac{256}{9}} = \sqrt{9 + \frac{305}{9}}
\]

Đưa 9 về cùng mẫu số:

\[
9 = \frac{81}{9}
\]
\[
AM = \sqrt{\frac{81 + 305}{9}} = \sqrt{\frac{386}{9}} = \frac{\sqrt{386}}{3}
\]

Vậy độ dài \(AM\) là:

\[
AM = \frac{\sqrt{386}}{3}
\]