Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( y = \frac{x^2 - 2x + 6}{x^2 + 2x + 1} \), trước tiên, chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức.

Biểu thức ở mẫu có thể viết lại như sau:

\[
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
\]

Do đó, biểu thức trở thành:

\[
y = \frac{x^2 - 2x + 6}{(x + 1)^2}
\]

Tiếp theo, ta sẽ giải phương trình bậc hai trong tử số:

\[
x^2 - 2x + 6
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, chúng ta có thể lấy đạo hàm. Tuy nhiên, để tiện cho việc tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta nên sử dụng viết lại trong dạng chuẩn:

\[
x^2 - 2x + 6 = (x-1)^2 + 5
\]

Điều này cho ta biết rằng giá trị nhỏ nhất của \( x^2 - 2x + 6 \) là 5, đạt được khi \( x = 1 \).

Bây giờ xét mẫu số:

\[
(x+1)^2
\]

Mẫu này không bao giờ bằng 0 và có giá trị nhỏ nhất là 1, cũng đạt được khi \( x = -1 \).

Bây giờ tính \( y \) tại các giá trị được tìm ra:

1. Tại \( x = 1 \):

\[
y = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 + 6}{(1 + 1)^2} = \frac{1 - 2 + 6}{4} = \frac{5}{4}
\]

2. Tại \( x = -1 \):

\[
y = \frac{(-1)^2 - 2(-1) + 6}{(-1 + 1)^2} = \frac{1 + 2 + 6}{0}
\]

Tại \( x = -1 \), mẫu số trở về 0, nên \( y \) không xác định.

Cuối cùng, ta cần xác định rằng biểu thức này có giá trị nhỏ nhất là \( \frac{5}{4} \) khi \( x = 1 \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \frac{x^2 - 2x + 6}{x^2 + 2x + 1} \) là

\[
\frac{5}{4}.
\]