Để giải bài toán thứ nhất và chứng minh bài toán thứ hai, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện cả hai.

### Bài 1: Tính hợp lí \((2024^5 + 1) / (2024^4 - 2024^3 + 2024^2 - 2023)\)

**Bước 1: Thay thế số**

Gọi \( x = 2024 \). Khi đó, biểu thức trở thành:

\[
\frac{x^5 + 1}{x^4 - x^3 + x^2 - 2023}
\]

**Bước 2: Tính tử số**

Tử số là \( x^5 + 1 \), có thể viết là:

\[
x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
\]

**Bước 3: Tính mẫu số**

Mẫu số là \( x^4 - x^3 + x^2 - 2023 \). Để tìm giá trị của mẫu số khi \( x = 2024 \):

\[
\begin{align*}
x^4 & = 2024^4 \\
-x^3 & = -2024^3 \\
+x^2 & = 2024^2 \\
-2023 & = -2023
\end{align*}
\]

Do đó, mẫu số có giá trị gần bằng \( 2024^4 - 2024^3 + 2024^2 - 2023 \).

**Bước 4: Tính giá trị của biểu thức**

Chúng ta sẽ thực hiện một số tính toán:

\[
x^4 - x^3 + x^2 - 2023 = (x^4 - x^3 + x^2) - 2023
\]

Cần tính giá trị của \( (2024^4 - 2024^3 + 2024^2) \). Từ đây, có thể phỏng đoán răng:

\[
2024^4 - 2024^3 + 2024^2 \text{ là một đại lượng lớn hơn } 2023
\]

Cuối cùng, giá trị biểu thức \(\frac{(2024 + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)}{x^4 - x^3 + x^2 - 2023}\) có ý nghĩa và lý do chính xác hơn cho việc phân tích sâu hơn Mẫu số.

### Bài 2: Chứng minh \(9 + 99 + 999 + ... + 999...9(100 số 9) = \frac{10^{101} - 910}{9}\)

**Bước 1: Viết biểu thức tổng**

Mỗi số trong dãy được viết dưới dạng:

\[
S = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace{999...9}_{100 \text{ số 9}}
\]

**Bước 2: Chuyển đổi thành dạng lũy thừa**

Mỗi số \(999...9\) với \(n\) chữ số 9 có thể viết là:

\[
999...9 (n \text{ chữ số 9}) = 10^n - 1
\]

Do đó:

\[
S = (10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + ... + (10^{100} - 1)
\]

**Bước 3: Gộp lại**

Có tổng:

\[
S = (10^1 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^{100}) - 100
\]

**Bước 4: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân**

Áp dụng công thức tổng cho cấp số nhân:

\[
S = \left(10(1 - 10^{100})/(1 - 10)\right) - 100 = \frac{10(10^{100} - 1)}{9} - 100
\]

**Bước 5: Cộng lại**

Giờ tính toàn bộ cộng:

\[
S = \frac{10^{101} - 10}{9} - 100
\]

**Bước 6: Đưa về mẫu**

Chuyển đổi thành:

\[
= \frac{10^{101} - 10 - 900}{9} = \frac{10^{101} - 910}{9}
\]

Vậy \( S = \frac{10^{101} - 910}{9} \) là đúng, đã chứng minh xong.

Hy vọng câu trả lời này mang lại sự rõ ràng cần thiết!