Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = 2x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 2019 \), chúng ta có thể nhóm các hạng tử theo cách dễ dàng hơn để tìm cực tiểu.

Bắt đầu với việc viết lại:
\[
P = 2x^2 + 4xy + 4y^2 - 2x - 4y + 2019
\]

Chúng ta có thể nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \) lại với nhau:
\[
P = 2(x^2 + 2xy + 2y^2) - 2x - 4y + 2019
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp hoàn thành bình phương.

Ta sẽ xem xét phần chính của biểu thức, tức là \( 2(x^2 + 2xy + 2y^2) - 2x - 4y \).

Đầu tiên, ta hoàn thành bình phương cho phần \( x^2 + 2xy + 2y^2 \):
\[
x^2 + 2xy + 2y^2 = (x + y)^2 + y^2
\]

Thay vào biểu thức:
\[
P = 2((x + y)^2 + y^2) - 2x - 4y + 2019
\]
\[
= 2(x + y)^2 + 2y^2 - 2x - 4y + 2019
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét \( 2(x + y)^2 - 2x - 4y + 2y^2 \):
Ta có thể tách phần \( -2x \) và \( -4y \) ra:
\[
= 2(x + y)^2 + 2(y^2 - 2y) - 2x
\]

Giới thiệu biến mới \( z = x + y \):
\[
P = 2z^2 + 2(y^2 - 2y) - 2(x+y) + 2019
\]

Tại đây, ta nhận thấy cần một cách tiếp cận khác, chuyển tất cả về một biến có thể hơn:

Xét lại \( P \):
Chúng ta có thể tính giá trị bằng cách lấy đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \), và tìm phần nào có giá trị tối thiểu. Đơn giản, chúng ta sử dụng hệ phương trình:

1. Đạo hàm riêng theo \( x \):
\[
\frac{\partial P}{\partial x} = 4x + 4y - 2 = 0
\]
2. Đạo hàm riêng theo \( y \):
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = 8y + 4x - 4 = 0
\]

Giải hai phương trình này:

Từ phương trình 1, ta có:
\[
4y = 2 - 4x \implies y = \frac{1 - 2x}{2}
\]

Thay vào phương trình 2:
\[
8\left(\frac{1 - 2x}{2}\right) + 4x - 4 = 0
\]

Giải phương trình tương đương:
\[
4(1 - 2x) + 4x - 4 = 0
\]
\[
4 - 8x + 4x - 4 = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0
\]

Thay vào \( y \):
\[
y = \frac{1}{2}
\]

Giá trị \( P \) tại \( x = 0, y = \frac{1}{2} \):
\[
P = 2(0)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4(0)\left(\frac{1}{2}\right) - 2(0) - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 2019
\]
\[
= 2(0) + 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 + 2019
\]
\[
= 1 - 2 + 2019 = 2018
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
\[
\boxed{2018}
\]