Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách lần lượt.

### a) Tính BC và AH

Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) tại đỉnh A, ta có:

- \( AB = 8 \, \text{cm} \)
- \( AC = 15 \, \text{cm} \)

Để tính cạnh \( BC \), chúng ta sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \, \text{cm}
\]

Tiếp theo, để tính chiều cao \( AH \) (từ đỉnh A xuống cạnh BC), chúng ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác. Diện tích \( S \) của tam giác có thể tính bằng độ dài các cạnh và chiều cao tương ứng.

Diện tích của tam giác \( ABC \) có thể tính bằng:

\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \, \text{cm}^2
\]

Diện tích cũng có thể được tính bằng cạnh đáy \( BC \) và chiều cao \( AH \):

\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]

Kết hợp hai công thức diện tích lại với nhau:

\[
60 = \frac{1}{2} \times 17 \times AH
\]

Giải phương trình trên để tìm \( AH \):

\[
120 = 17 \times AH \implies AH = \frac{120}{17} \approx 7.06 \, \text{cm}
\]

### b) Tính góc B và góc C

Để tính góc B và góc C, ta sử dụng các hàm lượng giác.

- Tính góc \( B \):

\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{17}
\]

Từ đó:

\[
B \approx \arcsin\left(\frac{15}{17}\right) \approx 56.57^\circ \text{ (làm tròn đến độ)}
\]

- Tính góc \( C \):

\[
\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{17}
\]

Từ đó:

\[
C \approx \arcsin\left(\frac{8}{17}\right) \approx 28.82^\circ \text{ (làm tròn đến độ)}
\]

Vì tổng các góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \):

\[
A + B + C = 90^\circ + B + C = 180^\circ \implies B + C = 90^\circ
\]

### c) Tính \( BE \) và \( CE \)

Cắt đường phân giác của \( A \) trên cạnh \( BC \) tại \( E \). Áp dụng định lý phân giác cho tam giác \( ABC \):

\[
\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15}
\]

Gọi \( BE = 8k \) và \( CE = 15k \). Ta có:

\[
BE + CE = BC \implies 8k + 15k = 17 \implies 23k = 17 \implies k = \frac{17}{23}
\]

Tính \( BE \) và \( CE \):

\[
BE = 8k = 8 \times \frac{17}{23} \approx 5.91 \, \text{cm}
\]
\[
CE = 15k = 15 \times \frac{17}{23} \approx 11.09 \, \text{cm}
\]

### Tóm tắt kết quả:
- a) \( BC = 17 \, \text{cm} \), \( AH \approx 7.06 \, \text{cm} \)
- b) \( B \approx 57^\circ \), \( C \approx 29^\circ \)
- c) \( BE \approx 5.91 \, \text{cm} \), \( CE \approx 11.09 \, \text{cm} \)