Một vật dao động điều hòa dọc theo trục ox với biên độ a = 4 cm và chu kì t = 0,4 giây. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc v = 20π√3 cm/s, và gia tốc dương. Hỏi sau khoảng thời gian là 2,3 giây vật đi qua vị trí có li độ x = - 3,5 cm bao nhiêu lần

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần xác định phương trình dao động của vật.

Dựa vào thông tin đã cho, ta có:
- Biên độ \( A = 4 \) cm
- Chu kỳ \( T = 0.4 \) s
- Vận tốc ban đầu \( v_0 = 20\pi\sqrt{3} \) cm/s
- Gia tốc ban đầu dương

1. **Tính tần số góc \(\omega\)**:
\[
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \text{ rad/s}
\]

2. **Xác định phương trình dao động**:
Phương trình li độ của vật có thể có dạng:
\[
x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \quad \text{hoặc} \quad x(t) = A \sin(\omega t + \phi)
\]
Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng dạng cos để dễ dàng xác định pha.

3. **Tính \( \phi \) sử dụng vận tốc**:
Vận tốc được tính bằng đạo hàm của li độ:
\[
v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi)
\]
Tại \( t = 0 \) (thời điểm ban đầu):
\[
v(0) = -A \omega \sin(\phi) = 20\pi\sqrt{3}
\]
Thay giá trị vào:
\[
-4 \cdot 5\pi \cdot \sin(\phi) = 20\pi\sqrt{3}
\]
Rút gọn cho \(\pi\):
\[
-20 \sin(\phi) = 20\sqrt{3}
\]
\[
\sin(\phi) = -\sqrt{3}
\]
Vì \( \sin(\phi) = -\sqrt{3}/2 \) đặt
\(\phi = \frac{7\pi}{3} \text{ hoặc } \frac{4\pi}{3}\) (bởi vì gia tốc dương, \(\phi \) = \(\frac{5\pi}{3}\) không thích hợp)

4. **Phương trình dao động**:
Giả sử chúng ta chọn:
\[
x(t) = 4 \cos(5\pi t + \frac{5\pi}{3})
\]

5. **Tìm số lần vật đi qua \( x = -3.5 \) cm trong 2,3 giây**:
Để tìm số lần vật đi qua vị trí \( x = -3.5 \) cm, chúng ta giải phương trình:
\[
4 \cos(5\pi t + \frac{5\pi}{3}) = -3.5
\]
Hay là:
\[
\cos(5\pi t + \frac{5\pi}{3}) = -\frac{3.5}{4} = -0.875
\]

Giải phương trình:
\[
5\pi t + \frac{5\pi}{3} = \arccos(-0.875) + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 5\pi t + \frac{5\pi}{3} = -\arccos(-0.875) + 2k\pi
\]
\[
t = \frac{\arccos(-0.875) - \frac{5\pi}{3} + 2k\pi}{5\pi} \quad \text{và} \quad t = \frac{-\arccos(-0.875) - \frac{5\pi}{3} + 2k\pi}{5\pi}
\]

Lần lượt tính t với \( k = 0, 1, 2, \ldots \) sao cho \( t < 2.3 \) giây.

\[
T = \frac{2.3}{0.4} = 5.75 \approx 5 \text{ chu kỳ.}
\]

Mỗi chu kỳ, vật đi qua vị trí \( x = -3.5 \) cm hai lần: một lần khi đi xuống và một lần khi đi lên.

Tổng số lần đi qua sẽ tính được:
\[
= 2 \times 5 = 10 \text{ lần}
\]

Vậy đáp án là: Vật đi qua vị trí \( x = -3.5 \) cm 10 lần trong khoảng thời gian 2,3 giây.