Một chất điểm dao động điều hòa với gia tốc cực đại bằng 8π² cm/s² và chu kì bằng hai dây. Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm có vận tốc 4√(3π) cm/s và đang tăng. Trong quãng thời gian 511s tính từ thời điểm ban đầu chất điểm đi qua vị trí có vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại bao nhiêu lần?

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tất cả các thông số liên quan đến chất điểm đang dao động điều hòa.

1. **Xác định các thông số**:

- Gia tốc cực đại \( a_{max} = 8\pi^2 \) cm/s².
- Chu kỳ \( T = 2 \) s.

Từ chu kỳ, ta có tần số \( \omega \):

\[
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad/s}
\]

Gia tốc trong dao động điều hòa được biểu diễn là:

\[
a = -\omega^2 x
\]

Từ đó, ta có:

\[
a_{max} = \omega^2 A
\]
với \( A \) là biên độ. Thay số vào, ta có:

\[
8\pi^2 = \pi^2 A \Rightarrow A = 8 \text{ cm}
\]

2. **Tính vận tốc cực đại**:

Vận tốc cực đại được tính bởi công thức:

\[
v_{max} = \omega A = \pi \times 8 = 8\pi \text{ cm/s}
\]

Vận tốc nửa cực đại là:

\[
v_{nửa} = \frac{1}{2}v_{max} = \frac{1}{2} \times 8\pi = 4\pi \text{ cm/s}
\]

3. **Viết phương trình vận tốc**:

Phương trình vận tốc trong dao động điều hòa là:

\[
v(t) = v_{max} \sin(\omega t + \phi)
\]

Tại thời điểm t=0, \( v(0) = 4\sqrt{3\pi} \) cm/s và đang tăng, do đó chúng ta có:

\[
v(0) = 8\pi \sin(\phi) = 4\sqrt{3\pi}
\]

Giải phương trình trên:

\[
\sin(\phi) = \frac{4\sqrt{3\pi}}{8\pi} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \phi = \frac{\pi}{3} \text{ (hoặc } \phi = \frac{2\pi}{3}\text{)}
\]

Ta chọn \( \phi = \frac{\pi}{3} \) because \( v(t) \) đang tăng.

4. **Tìm thời gian chất điểm có vận tốc nửa cực đại**:

Tìm thời gian \( t \) sao cho:

\[
v(t) = 4\pi \Rightarrow 8\pi \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = 4\pi
\]

Chia cả hai bên cho \( 8\pi \):

\[
\sin\left(\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
\]

Giải phương trình \( \sin x = \frac{1}{2} \):

\[
\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad \pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi
\]

Giải phương trình này:

1. Từ phương trình đầu tiên:

\[
\pi t = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \Rightarrow \pi t = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow t = \frac{12k - 1}{12} \text{ (với } k \in \mathbb{Z}\text{)}
\]

2. Từ phương trình thứ hai:

\[
\pi t = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \Rightarrow \pi t = \frac{3\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow t = \frac{12k + 3}{12} = k + \frac{1}{4}
\]

5. **Xác định số lần đi qua vận tốc nửa cực đại trong 511 giây**:

Ta có 2 dạng thời gian:

- \( t = \frac{12k - 1}{12} \)
- \( t = k + \frac{1}{4} \)

Giải cho \( t \) trong 511 giây sẽ tìm được giá trị của \( k \):

- Với \( t = \frac{12k - 1}{12} \)
\[
12k - 1 \leq 6132 \Rightarrow k \leq 511
\]
(Giải ra được 512 giá trị cho k từ 0 đến 511)

- Với \( t = k + \frac{1}{4} \)
\[
k + \frac{1}{4} \leq 511 \Rightarrow k \leq 510
\]
(Giải ra khoảng 511 lần từ 0 đến 510)

**Kết luận**: Chất điểm đi qua vị trí có vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại là \( 511 + 512 = 1024 \) lần trong quãng thời gian 511 giây.