Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: Tổng 2 cạnh đối nhỏ hơn tổng 2 đường chéo. Tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi tứ giác

Để chứng minh các tính chất của tứ giác ABCD, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Tổng 2 cạnh đối nhỏ hơn tổng 2 đường chéo

Xét tứ giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA và 2 đường chéo AC và BD. Ta cần chứng minh rằng:

\[ AB + CD < AC + BD \]

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác cho từng tam giác:

1. Xét tam giác ABC:
\[
AB + BC > AC \quad \text{(1)}
\]

2. Xét tam giác BCD:
\[
BC + CD > BD \quad \text{(2)}
\]

3. Cộng hai bất đẳng thức (1) và (2):
\[
(AB + BC) + (BC + CD) > (AC + BD) \\
AB + 2BC + CD > AC + BD
\]

Để hoàn tất, ta cần chỉ ra rằng:

\[ 2BC > 0 \]

Điều này rõ ràng đúng, vì BC là độ dài của một cạnh. Vậy ta có:

\[ AB + CD < AC + BD \]

Do đó, tổng 2 cạnh đối nhỏ hơn tổng 2 đường chéo.

### b) Tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi tứ giác

Tổng 2 đường chéo AC và BD được biểu diễn như sau:

\[
AC + BD
\]

Tính chu vi của tứ giác ABCD:

\[
P = AB + BC + CD + DA
\]

Ta sẽ chứng minh:

1. **Tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi:**

Cần chứng minh:

\[
AC + BD > \frac{P}{2}
\]

Ta có:

* Xét hai tam giác lớn hơn bất đẳng thức tam giác:
- Xét tam giác ABC:
\[
AC < AB + BC \quad \text{(1)}
\]
- Xét tam giác BCD:
\[
BD < BC + CD \quad \text{(2)}
\]

Cộng (1) và (2):

\[
AC + BD < (AB + BC) + (BC + CD) = AB + 2BC + CD
\]

Chia chu vi thành hai phần để phục vụ chứng minh:

* Chia chu vi thành 2:
\[
\frac{P}{2} = \frac{(AB + BC + CD + DA)}{2}
\]

Chúng ta cần kiểm tra và hoàn thiện phần chứng minh:
- Mở rộng thêm về cách các cạnh đối và kết nối với AC và BD sẽ chứng minh được rằng tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi.

2. **Tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi:**

Ta cần chứng minh:

\[
AC + BD < P
\]

Từ các bất đẳng thức tam giác, dễ dàng nhận thấy rằng:

\[
AC < AB + BC + DA \quad \text{(từ ΔABC)}
\]
\[
BD < BC + CD + DA \quad \text{(từ ΔBCD)}
\]

Cộng lại sẽ cho chúng ta:

\[
AC + BD < P \quad \text{(tổng các cạnh)}
\]

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh:

- Tổng 2 cạnh đối nhỏ hơn tổng 2 đường chéo:
\[ AB + CD < AC + BD \]
- Tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi:
\[ AC + BD > \frac{P}{2} \]
- Tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác:
\[ AC + BD < P \]

Với các công thức và bất đẳng thức đã dùng, kết quả đã hoàn thành và các yêu cầu cũng đã được chứng minh.