Tìm số nguyên tố nhỏ nhất có 12 ước. Tìm số nguyên tố khác 0 nhỏ hơn 40 có nhiều ước nhất

Để tìm số nguyên tố nhỏ nhất có 12 ước và các yêu cầu khác, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu như sau:

### 1. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất có 12 ước.

Để một số có 12 ước, ta cần phân tích số đó ra thành các thừa số nguyên tố theo công thức:

\[
(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1)... = 12
\]

Trong trường hợp đơn giản nhất, với số nguyên tố:
- Nếu số đó là \( p^{11} \) thì số ước là \( 11 + 1 = 12 \). Với \( p = 2 \), số này là \( 2^{11} = 2048 \).
- Hoặc có thể là dạng \( p^5 \times q^1 \), như \( (5 + 1)(1 + 1) = 12 \). Cách này sẽ được thực hiện với \( p = 2 \) và \( q = 3 \), cho ra \( 2^5 \times 3^1 = 32 \times 3 = 96 \).

Trong trường hợp nhỏ nhất, có \( p^3 \times q^3 \) cũng cho số ước = 12.

Tuy nhiên, không có số nguyên tố mà có 12 ước.

### 2. Tìm số nguyên khác 0 nhỏ hơn 40 có nhiều ước nhất.

Tính số ước của các số từ 1 đến 39:
- Cách tính số ước là phân tích số đó ra thành thừa số nguyên tố và áp dụng công thức \( (n_1 + 1)(n_2 + 1)... \).

Các số từ 1 đến 39 và số ước tương ứng sẽ gồm:
- 12: có 6 ước: \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \)
- 24: có 8 ước: \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)
- 36: có 9 ước: \( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \)

Số có nhiều ước nhất trong các số dưới 40 là 36 với 9 ước.

### 3. Tìm số nguyên n có 48 ước, biết rằng n phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng \( 2^x \cdot 3^y \) trong đó \( x + y = 12 \).

Số ước của n được tính bằng:
\[
(n_1 + 1)(n_2 + 1) = (x + 1)(y + 1) = 48
\]

Với \( x + y = 12 \), ta có \( y = 12 - x \).
Vậy ta có:
\[
(x + 1)((12 - x) + 1) = 48
\]
\[
(x + 1)(13 - x) = 48
\]

Giải phương trình này:
\[
x^2 - 12x + 48 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 192}}{2} = 6 \pm 3
\]

Cho ta hai kết quả:
- \( x = 9 \) và \( y = 3 \) ( vậy \( n = 2^9 \cdot 3^3 = 512 \cdot 27 = 13824 \))
- \( x = 3 \) và \( y = 9 \) ( vậy \( n = 2^3 \cdot 3^9 = 8 \cdot 19683 = 157464 \))

Vậy n = 13824 hoặc 157464.

**Kết quả:**
1. Số nguyên tố nhỏ nhất có 12 ước không tồn tại.
2. Số có nhiều ước nhất dưới 40 là 36.
3. Như đã tính, n có 48 ước là 13824 và 157464.