Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14 và c = 15. Tính sin các góc của tam giác

Để tính sin các góc của tam giác ABC, trước hết chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosine để tính các góc của tam giác. Giả sử \( A \), \( B \), và \( C \) lần lượt là các góc đối diện với các cạnh \( a \), \( b \), và \( c \).

### Bước 1: Tính góc A

Theo định lý Cosine:

\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]

Thay các giá trị vào:

\[
\cos A = \frac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \frac{196 + 225 - 169}{420}
\]

\[
\cos A = \frac{252}{420} = \frac{3}{5}
\]

Từ đó, chúng ta tính được sin của góc A bằng định lý Pythagoras:

\[
\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]

Vậy

\[
\sin A = \frac{4}{5}
\]

### Bước 2: Tính góc B

Tương tự, chúng ta tính góc B:

\[
\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}
\]

Thay các giá trị vào:

\[
\cos B = \frac{13^2 + 15^2 - 14^2}{2 \cdot 13 \cdot 15} = \frac{169 + 225 - 196}{390}
\]

\[
\cos B = \frac{198}{390} = \frac{99}{195} = \frac{33}{65}
\]

Tính sin của góc B:

\[
\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - \left(\frac{33}{65}\right)^2 = 1 - \frac{1089}{4225}
\]

\[
\sin^2 B = \frac{4225 - 1089}{4225} = \frac{3136}{4225}
\]

Vậy

\[
\sin B = \frac{56}{65}
\]

### Bước 3: Tính góc C

Cuối cùng, tính góc C:

\[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\]

Thay các giá trị vào:

\[
\cos C = \frac{13^2 + 14^2 - 15^2}{2 \cdot 13 \cdot 14} = \frac{169 + 196 - 225}{364}
\]

\[
\cos C = \frac{140}{364} = \frac{70}{182} = \frac{35}{91}
\]

Tính sin của góc C:

\[
\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \left(\frac{35}{91}\right)^2 = 1 - \frac{1225}{8281}
\]

\[
\sin^2 C = \frac{8281 - 1225}{8281} = \frac{7056}{8281}
\]

Vậy

\[
\sin C = \frac{84}{91}
\]

### Kết quả

Tóm lại, các giá trị sin của các góc trong tam giác ABC là:

- \( \sin A = \frac{4}{5} \)
- \( \sin B = \frac{56}{65} \)
- \( \sin C = \frac{84}{91} \)