Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tính được kích thước của miếng tôn hình chữ nhật, sau đó tính thể tích của thùng đã gấp lên và cuối cùng tính số chai nước cần thiết để đổ đầy thùng đó.

**Bước 1: Tính kích thước của miếng tôn.**
Gọi chiều rộng của miếng tôn là \( x \) dm.
Chiều dài sẽ là \( x + 1 \) dm (vì chiều dài hơn chiều rộng 1 dm).
Theo công thức chu vi:
\[
2(x + x + 1) = 22 \Rightarrow 2(2x + 1) = 22 \Rightarrow 2x + 1 = 11 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5
\]
Vậy chiều rộng là \( 5 \) dm và chiều dài là:
\[
x + 1 = 5 + 1 = 6 \text{ dm}
\]

**Bước 2: Tính kích thước hình vuông cắt ra.**
Diện tích của mỗi hình vuông là \( 100 \) cm², do đó cạnh của mỗi hình vuông sẽ là:
\[
\sqrt{100} = 10 \text{ cm} = 1 \text{ dm}
\]

**Bước 3: Tính kích thước và thể tích thùng.**
Khi cắt 4 hình vuông (mỗi hình 1 dm ở mỗi góc), chiều dài và chiều rộng của thùng sau khi gấp lên sẽ là:
- Chiều dài mới: \( 6 - 2(1) = 4 \) dm
- Chiều rộng mới: \( 5 - 2(1) = 3 \) dm
- Chiều cao của thùng: \( 1 \) dm (cạnh hình vuông cắt ra).

Tính thể tích \( V \) của thùng:
\[
V = \text{thể tích} = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} = 4 \times 3 \times 1 = 12 \text{ dm}^3
\]

**Bước 4: Tính số chai nước cần thiết.**
1 dm³ = 1000 ml, do đó thể tích của thùng là:
\[
12 \text{ dm}^3 = 12 \times 1000 = 12000 \text{ ml}
\]

Mỗi chai nước có thể tích là 500 ml. Số chai nước cần thiết để đổ đầy thùng là:
\[
\frac{12000}{500} = 24
\]

Vậy, cần **24 chai nước** để đổ đầy thùng.