Để biểu thức \(C = 2 + \frac{1}{x + 3}\) là một số nguyên, phần phân số \(\frac{1}{x + 3}\) cũng phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \(x + 3\) phải là một ước của 1, vì giá trị của \(\frac{1}{x + 3}\) luôn phải là một số nguyên.

Các ước của 1 là:
- 1
- -1

Từ đó, ta có các phương trình:
1. \(x + 3 = 1 \Rightarrow x = 1 - 3 = -2\)
2. \(x + 3 = -1 \Rightarrow x = -1 - 3 = -4\)

Vậy, các giá trị của \(x\) là \(-2\) và \(-4\).

Do đó, có **2 số nguyên \(x\)** để \(C\) là nguyên.

Đáp án là: **2 số**.