Để giải bất phương trình

\[
\frac{4x + 1}{5} - \frac{x - 5}{9} \geq \frac{1}{2} - 3 - \frac{x}{5},
\]

chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đưa tất cả các hạng tử về cùng một phía:**

\[
\frac{4x + 1}{5} - \frac{x - 5}{9} - \left(\frac{1}{2} - 3 - \frac{x}{5}\right) \geq 0.
\]

2. **Biến đổi hạng tử bên phải:**

\[
\frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2}.
\]

Vậy bất phương trình trở thành:

\[
\frac{4x + 1}{5} - \frac{x - 5}{9} + \frac{5}{2} + \frac{x}{5} \geq 0.
\]

3. **Tìm bội số chung:**

Bội số chung nhỏ nhất của 5, 9, và 1 là 45. Chúng ta sẽ nhân tất cả các hạng tử với 45 để loại bỏ mẫu số:

\[
9(4x + 1) - 5(x - 5) + 112.5 + 9x \geq 0.
\]

4. **Giải từng hạng tử:**

- Tính \(9(4x + 1) = 36x + 9\).
- Tính \(5(x - 5) = 5x - 25\).

Bây giờ thay vào bất phương trình:

\[
36x + 9 - (5x - 25) + 112.5 + 9x \geq 0.
\]

5. **Rút gọn:**

\[
36x + 9 - 5x + 25 + 112.5 + 9x \geq 0 \\
(36x - 5x + 9x) + (9 + 25 + 112.5) \geq 0 \\
40x + 146.5 \geq 0.
\]

6. **Giải bất phương trình:**

\[
40x \geq -146.5 \\
x \geq -\frac{146.5}{40} \\
x \geq -3.6625.
\]

7. **Kết luận:**

Bất phương trình đã cho sẽ có nghiệm:

\[
x \geq -3.6625.
\]

Vậy nghiệm cuối cùng của bất phương trình là: \(x \in [-3.6625, +\infty)\).