Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a)
Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{DO}{CB} = \frac{AO}{HC} \text{ và } AD \cdot HC = AD \cdot HB
\]

1. **Xác định điểm O**: O là tâm của đường tròn.
2. **Chiều dài các đoạn thẳng**:
- \( OA = OB = R \) (bán kính).
- \( AC \) là bán kính khi C nằm trên đường tròn.
3. **Tam giác đồng dạng**: Xét hai tam giác \( \triangle DOA \) và \( \triangle DHC \):
- Các góc tương ứng bằng nhau.
- Từ đây, suy ra tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng, từ đó ta có \(\frac{DO}{CB} = \frac{AO}{HC}\).

4. **Chứng minh \( AD \cdot HC = AD \cdot HB \)**:
- Bằng cách sử dụng định lý tiếp tuyến, ta có \( AD \) là tiếp tuyến từ D đến đường tròn tại A.
- Sử dụng hệ thức giữa các đoạn thẳng từ D và các điểm trên đường tròn.

### b)
Để chứng minh \( I \) là giao điểm của \( CH \) và \( BD \):

1. **Kẻ \( CH \) vuông góc với \( AB \)**: Từ H, kẻ đường thẳng vuông góc với \( AB \) sẽ gặp \( CH \) tại một điểm I.
2. **Chứng minh I là trung điểm của CH**:
- Xét tính chất của các tam giác và đường vuông góc, tại I, sẽ tạo ra các đoạn thẳng đều nhau giữa C và H.
- Theo tính chất của đường trung trực trong tam giác, điểm I sẽ chia đoạn thẳng CH thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( CI = IH \).

Bằng cách sử dụng các tính chất hình học, ta có thể khẳng định rằng \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CH \).

Các bước ở trên nêu rõ phương pháp và lý do để chứng minh các yêu cầu của bài toán. Nếu cần bất kỳ phần giải thích cụ thể nào hơn, hãy cho tôi biết!