Để tính \( A = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 22^2 \), chúng ta nhận thấy rằng các số trong biểu thức là các số chẵn từ \( 2 \) đến \( 22 \). Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:

\[
A = (2 \cdot 1)^2 + (2 \cdot 2)^2 + (2 \cdot 3)^2 + \ldots + (2 \cdot 11)^2
\]

Tức là:

\[
A = 2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 11^2)
\]

Ta đã biết rằng

\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 11^2 = 506
\]

Vậy ta thay thế vào biểu thức của \( A \):

\[
A = 2^2 \cdot 506 = 4 \cdot 506
\]

Tính toán:

\[
4 \cdot 506 = 2024
\]

Vậy giá trị của \( A \) là:

\[
\boxed{2024}
\]