Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý từng yêu cầu.

### a) Giải hệ phương trình với \( m = 2 \)

Hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x - 2y = 5 \quad (1) \\
2x - y = 4 \quad (2)
\end{cases}
\]

**Bước 1:** Giải phương trình (1) để biểu diễn \( x \) theo \( y \):

\[
x = 2y + 5
\]

**Bước 2:** Thay \( x \) vào phương trình (2):

\[
2(2y + 5) - y = 4
\]

\[
4y + 10 - y = 4
\]

\[
3y + 10 = 4
\]

\[
3y = 4 - 10
\]

\[
3y = -6 \implies y = -2
\]

**Bước 3:** Thay giá trị của \( y \) vào phương trình (1) để tìm \( x \):

\[
x - 2(-2) = 5
\]

\[
x + 4 = 5 \implies x = 1
\]

**Kết luận:** Nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -2) \).

### b) Tìm \( m \) nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) sao cho \( x, y \) đều là số nguyên

Hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x + my = m + 1 \quad (1) \\
mx + y = 3m - 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Để hệ phương trình này có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác không. Ma trận hệ số là:

\[
\begin{pmatrix}
1 & m \\
m & 1
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
D = 1 \cdot 1 - m \cdot m = 1 - m^2
\]

Để có nghiệm duy nhất, yêu cầu:

\[
1 - m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq 1
\]

Tức là \( m \neq 1 \) và \( m \neq -1 \).

**Bước tiếp theo:** Xét điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nguyên:

Giải từ (1):

\[
x = m + 1 - my \quad (3)
\]

Thay từ (3) vào (2):

\[
m(m + 1 - my) + y = 3m - 1
\]

\[
m^2 + m - m^2y + y = 3m - 1
\]

\[
-(m^2 - 1)y + m^2 + m + 1 = 3m
\]

\[
-(m^2 - 1)y = 2m - 1 \implies y = \frac{1 - 2m}{m^2 - 1}
\]

Để có \( y \) là số nguyên, thì \( 1 - 2m \) phải chia hết cho \( m^2 - 1 \).

Khi \( m = 0, 2, -2, \ldots \), ta sẽ kiểm tra từng giá trị hợp lý:

- \( m = 0 \) cho \( y = 1 \); \( x = 1 \). Nghiệm nguyên.
- \( m = 2 \) cho \( y = -1 \); \( x = 1 \). Nghiệm nguyên.
- \( m = -2 \) cho \( y = \frac{5}{-3} \). Không nguyên.

Tóm lại, \( m = 0 \) và \( m = 2 \) là các giá trị nguyên thoả mãn yêu cầu.

### Kết luận chung:
- Nghiệm của hệ khi \( m = 2 \) là \( (1, -2) \).
- Các giá trị của \( m \) nguyên cho hệ có nghiệm nguyên duy nhất là \( m = 0 \) và \( m = 2 \).