Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = \frac{x}{4} - \frac{y}{4} \quad (1) \\
\frac{x}{3} = \frac{y}{5} + 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ bắt đầu từ phương trình (1).

### Bước 1: Giải phương trình (1)

Ta có:

\[
\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = \frac{x}{4} - \frac{y}{4}
\]

Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số:

\[
4 \cdot \frac{x}{2} + 4 \cdot \frac{y}{2} = 4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{y}{4}
\]

Điều này cho ta:

\[
2x + 2y = x - y
\]

Chuyển x và y về một phía:

\[
2x + 2y - x + y = 0
\]

Rút gọn lại, ta có:

\[
x + 3y = 0 \quad (3)
\]

### Bước 2: Giải phương trình (2)

Ta có:

\[
\frac{x}{3} = \frac{y}{5} + 1
\]

Nhân cả hai vế với 15 để loại bỏ mẫu số:

\[
15 \cdot \frac{x}{3} = 15 \cdot \left( \frac{y}{5} + 1 \right)
\]

Điều này cho ta:

\[
5x = 3y + 15
\]

Chuyển y về một phía:

\[
5x - 3y = 15 \quad (4)
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình (3) và (4)

Từ phương trình (3): \( x + 3y = 0 \), ta có thể biểu diễn \( x \):

\[
x = -3y \quad (5)
\]

Thay \( x = -3y \) vào phương trình (4):

\[
5(-3y) - 3y = 15
\]

Giải phương trình này:

\[
-15y - 3y = 15 \\
-18y = 15 \\
y = -\frac{15}{18} = -\frac{5}{6}
\]

### Bước 4: Tìm x từ y

Sử dụng phương trình (5):

\[
x = -3y = -3\left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}
\]

### Kết luận

Giải của hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x = \frac{5}{2} \\
y = -\frac{5}{6}
\end{cases}
\]