Cho tam giác PQR đều. Kẻ BH vuông góc với QR. Tính độ dài các cạnh tam giác và diện tích tam giác PQR: PH = 3 cm; PH = √3 cm

### Bài 1: Tam giác PQR đều

Tam giác PQR đều có độ dài cạnh là \( a \). Khi kẻ BH vuông góc với QR, thì H là trung điểm của cạnh QR.

#### a. PH = 3 cm

Vì BH vuông góc với QR, nên P, H, B tạo thành một tam giác vuông. Tam giác PQR đều có tính chất là chiều cao từ P đến cạnh QR (h) được tính theo công thức:

\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2}a
\]

Ở đây PH = h = 3 cm. Do đó:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2}a = 3 \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]

#### Tính diện tích tam giác

Diện tích \( S \) của tam giác PQR là:

\[
S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \cdot h
\]

Với \( h = 3 \) cm và \( a = 2\sqrt{3} \) cm:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 = 3\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

#### b. PH = √3 cm

Tương tự, ta có:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2}a = \sqrt{3} \implies a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ cm}
\]

#### Tính diện tích tam giác

Diện tích \( S \) của tam giác PQR là:

\[
S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

### Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A, với AH vuông góc BC.

#### a. AB = 3 cm; AC = 4 cm

Sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Khi đó AH là chiều cao từ A xuống BC.

Tính độ dài AH (khoảng cách từ A đến BC):

Sử dụng công thức diện tích đạt được từ hai cách khác nhau:

1. Diện tích tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

2. Diện tích khác qua AH:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \implies 6 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AH \implies AH = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

#### b. AB = 15 cm; AC = 20 cm

Tương tự, áp dụng định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

Tính AH qua diện tích:

1. Diện tích tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ cm}^2
\]

2. Diện tích khác qua AH:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \implies 150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot AH \implies AH = \frac{300}{25} = 12 \text{ cm}
\]

### Tóm tắt kết quả:

- **Bài 1:**
- a. \( a = 2\sqrt{3} \) cm, \( S = 3\sqrt{3} \) cm²
- b. \( a = 2 \) cm, \( S = \sqrt{3} \) cm²
- **Bài 2:**
- a. \( BC = 5 \) cm, \( AH = 2.4 \) cm
- b. \( BC = 25 \) cm, \( AH = 12 \) cm