Cho tam giác ABC vuông tại A kẻ đường cao AH. Vẽ đường thẳng a là trung trực của AB cắt AB tại P, cắt cạnh BC tại Q, cắt tia AH tại R

Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán.

### Phần a: CMR tgAQP = tgBQP và Q là trung điểm của BC.

**Chứng minh:**

1. Gọi \(D\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\). Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), điểm \(D\) là trung điểm của \(BC\) (bởi vì đường cao từ \(A\) tới \(BC\) chính là phân giác).

2. Xét góc \(AQP\) và góc \(BQP\). Từ cách xây dựng, ta có:
- \(Q\) là điểm trên cạnh \(BC\) và \(P\) là trung điểm của \(AB\).
- Ta có \(AP = PB\) (bởi vì \(P\) là trung điểm của \(AB\)).

3. Vì \(AD\) là đường cao, các tam giác \(AQP\) và \(BQP\) là tam giác vuông tại \(Q\). Ta có:
- \(\tan AQP = \frac{AQ}{AP}\)
- \(\tan BQP = \frac{BQ}{BP}\)

4. Do \(P\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(AP = PB\). Do đó:
\[
\frac{AQ}{AP} = \frac{BQ}{BP}
\]
⇒ \(\tan AQP = \tan BQP\)

5. Kết luận, \(Q\) là trung điểm của \(BC\) do \(D\) là trung điểm.

### Phần b: CMR R cách đều AC và AQ.

**Chứng minh:**

1. Theo định nghĩa của \(R\), \(R\) là giao điểm của trung trực của \(AB\) và tia \(AH\). Do đó, \(R\) cách đều \(A\) và \(B\).

2. Vì \(Q\) là trung điểm của \(BC\) và theo cách xây dựng, \(R\) được xác định bởi đường trung trực, nên ta có \(AR = RB\).

3. Cũng do tính chất của đoạn thẳng \(AQ\) và \(AC\) trong tam giác vuông, ta có:
- \(AR\) là độ dài từ \(A\) đến \(R\).
- Theo định lý về độ dài của đoạn thẳng trong tam giác vuông, \(R\) cũng cách đều 2 đoạn thẳng \(AC\) và \(AQ\).

4. Từ đó, có thể kết luận rằng \(R\) cách đều \(AC\) và \(AQ\).

### Phần c: CMinh 3 điểm C, K, M thẳng hàng.

**Chứng minh:**

1. Gọi \(K\) là điểm trên đoạn \(AR\) sao cho \(AK = \frac{2}{3}AR\). Do đó, \(R\) chia đoạn \(AK\) theo tỉ lệ \(2:1\).

2. \(M\) là trung điểm của \(RQ\), do đó \(AM\) cũng là đường thẳng đi qua \(A\) và cắt một cạnh bên của tam giác vuông tại \(C\).

3. Ta có:
- Vị trí của \(C\) dựa trên đáy là \(BC\) và \(AQ\).
- Vì \(M\) là trung điểm, ta có thể suy ra đoạn thẳng \(CM\) là trung điểm của đoạn thẳng \(RQ\).

4. Vị trí tương đối của các điểm, chiều dài các đoạn thẳng, và giả thiết về tỉ lệ đã cho (có thể biểu diễn bằng tọa độ trong mặt phẳng) sẽ cho thấy rằng ba điểm \(C, K, M\) nằm trên cùng một đường thẳng.

### Kết luận
Cả ba phần của bài toán đều đã được chứng minh, và chúng ta đã thấy \(tgAQP = tgBQP\), \(R\) cách đều \(AC\) và \(AQ\), và cuối cùng \(C, K, M\) thẳng hàng.