Để giải bài toán về tam giác ABC vuông tại A và các điểm M, D, E như mô tả, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### Phần a:
**Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?**

Tứ giác \(ADME\) được tạo thành từ các điểm:
- \(A\): là đỉnh của tam giác vuông.
- \(D\): là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(AB\).
- \(E\): là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(AC\).

Từ đặc điểm của nó, ta có:
1. \(AD \perp MD\)
2. \(AE \perp ME\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\), \(E\) lần lượt là chân đường vuông góc từ \(M\) tới các cạnh \(AB\) và \(AC\), nên ta có các đoạn \(MD\) và \(ME\) đều vuông góc với các cạnh của tam giác. Do đó, tứ giác \(ADME\) là **hình chữ nhật** (bởi vì hai cặp cạnh (AD, ME) và (AM, DE) vuông góc và bằng nhau).

### Phần b:
**Lấy điểm F sao cho E là trung điểm của MF. Chứng minh: tứ giác AMCF là hình thoi.**

Khi \(E\) là trung điểm của \(MF\), ta có:
- \(ME = EF\)

Đồng thời, từ tứ giác \(ADME\) vừa chứng minh là hình chữ nhật, ta có:
- \(AD\) và \(AE\) vuông góc với \(MD\) và \(ME\).

Để chứng minh tứ giác \(AMCF\ là hình thoi\), ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện có độ dài bằng nhau.
- Ta có \(AM = MD\) và từ việc \(E\) là trung điểm, ta có \(ME = EF\).

Từ đó, ta có:
- \(AM = MC\) bởi vì \(AD = AE = DM = ME\).

Và:
- \(CF = CA\) do đặc điểm của hai điểm \(M\) và \(F\).

Do đó, mọi cạnh bên AM, MC, CF và AE đều bằng nhau, vậy tứ giác \(AMCF\) là hình thoi.

### Phần c:
**Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để AMCF là hình vuông. Tính diện tích hình vuông AMCF khi đó.**

Để tứ giác \(AMCF\) là hình vuông, cần có thêm điều kiện:
- \(AM = MC\) đồng thời \(AE\) và \(MD\) phải vuông góc với nhau.

Do đó, còn cần điều kiện là:
- \(AD\) phải bằng \(AE\) tức là tam giác \(ABC\) phải là tam giác vuông đều, tức là \(AB = AC\).

Diện tích hình vuông \(AMCF\) sẽ được tính như sau:
- Diện tích = \(AM^2\)

Nếu \(AM = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\), diện tích sẽ là:
\[
\text{Diện tích} = (4\sqrt{2})^2 = 32 \ \text{cm}^2
\]

Như vậy, tổng kết lại:
- **a**: Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.
- **b**: Tứ giác \(AMCF\) là hình thoi.
- **c**: Điều kiện cho \(AMCF\) trở thành hình vuông là tam giác \(ABC\) là tam giác vuông đều, và diện tích của hình vuông \(AMCF\) khi đó là \(32 \ \text{cm}^2\).