Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A,B trên cạnh CD. Chứng minh DK=CH

Trước tiên, ta có hình thang cân ABCD với AB // CD và AB < CD. Ta ký hiệu:

- H là hình chiếu của A trên cạnh CD.
- K là hình chiếu của B trên cạnh CD.

Vì ABCD là hình thang cân, ta có AB < CD và góc ACB = góc BDC.

Xét hình chiếu của A và B lên CD, ta thấy rằng:

- H là hình chiếu của A, do đó đoạn AH vuông góc với CD.
- K là hình chiếu của B, do đó đoạn BK vuông góc với CD.

Vì góc ACB = góc BDC, ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng tam giác AHC và tam giác BKC là hai tam giác vuông có góc tương ứng bằng nhau (góc AHC = góc BKC = 90 độ và góc ACB = góc BDC).

Bên cạnh đó, chiều cao từ các đỉnh A, B vuông góc với CD đều là độ cao của hình thang, và do đó, độ dài của đoạn HK (cạnh trên) đang nằm giữa CD và cách đều các cạnh bên của hình thang.

Để chứng minh DK = CH, ta xem xét:

1. Do H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD nên AH = DK và BK = CH từ tính chất của hình chiếu vuông góc.
2. Ta có thể sử dụng định lý Pitago:
- Trong tam giác AHC: AH^2 + HC^2 = AC^2
- Trong tam giác BKC: BK^2 + KC^2 = BC^2

3. Vì AB // CD và hình thang cân nên AC = BD và AH + BK = CD - AB.

Cuối cùng, dựa vào tính đối xứng và định lý về hình chiếu vuông góc trong hình thang cân, ta có kết luận rằng DK = CH.

Như vậy, ta đã chứng minh được DK = CH cho hình thang cân ABCD.