Cho Hình ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo Gòi E, F là trung điểm của OD và OB. Chứng minh AE = UC

Để chứng minh AE = UC trong hình chữ nhật ABCD, với O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, E là trung điểm của OD và F là trung điểm của OB, ta làm như sau:

1. **Ký hiệu và vị trí điểm:**
- Chọn hệ trục tọa độ sao cho điểm A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
- Từ đó, tọa độ các điểm O, E, và F được xác định:
- O là giao điểm của AC và BD. Do đó, O sẽ có tọa độ: O\(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\).
- E là trung điểm của OD:
\[
E\left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{b + \frac{b}{2}}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{3b}{4}\right)
\]
- F là trung điểm của OB:
\[
F\left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{b}{4}\right)
\]

2. **Tính khoảng cách AE và UC:**
- Tính AE:
\[
AE = \sqrt{\left(\frac{a}{4} - 0\right)^2 + \left(\frac{3b}{4} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{9b^2}{16}} = \frac{1}{4}\sqrt{a^2 + 9b^2}
\]
- Tính UC:
\[
UC = \sqrt{\left(a - \frac{3a}{4}\right)^2 + \left(b - \frac{b}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{3b}{4}\right)^2} = \frac{1}{4}\sqrt{a^2 + 9b^2}
\]

3. **Kết luận:**
Từ hai kết quả trên, ta thấy AE = UC. Điều này chứng minh rằng AE = UC như yêu cầu.