Để giải bất phương trình \( (x + \frac{1}{9})(2x - 5) < 0 \), ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Tìm nghiệm của các yếu tố
Ta cần tìm nghiệm của từng yếu tố trong bất phương trình.

1. **Xét yếu tố \( x + \frac{1}{9} = 0 \)**:
\[
x = -\frac{1}{9}
\]

2. **Xét yếu tố \( 2x - 5 = 0 \)**:
\[
2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}
\]

### Bước 2: Xác định các khoảng
Các nghiệm \( x = -\frac{1}{9} \) và \( x = \frac{5}{2} \) chia trục số thành các khoảng:
1. \( (-\infty, -\frac{1}{9}) \)
2. \( (-\frac{1}{9}, \frac{5}{2}) \)
3. \( (\frac{5}{2}, +\infty) \)

### Bước 3: Xét dấu của biểu thức trong từng khoảng
Ta sẽ chọn một điểm đại diện trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của biểu thức \( (x + \frac{1}{9})(2x - 5) \).

1. **Khoảng \( (-\infty, -\frac{1}{9}) \)**: Chọn \( x = -1 \)
\[
(-1 + \frac{1}{9})(2(-1) - 5) = (-1 + \frac{1}{9})(-2 - 5) = (-\frac{8}{9})(-7) > 0
\]

2. **Khoảng \( (-\frac{1}{9}, \frac{5}{2}) \)**: Chọn \( x = 0 \)
\[
(0 + \frac{1}{9})(2(0) - 5) = (\frac{1}{9})(-5) < 0
\]

3. **Khoảng \( (\frac{5}{2}, +\infty) \)**: Chọn \( x = 3 \)
\[
(3 + \frac{1}{9})(2(3) - 5) = (3 + \frac{1}{9})(6 - 5) = (3 + \frac{1}{9})(1) > 0
\]

### Bước 4: Kết luận
Biểu thức \( (x + \frac{1}{9})(2x - 5) \) âm (nhỏ hơn 0) trong khoảng \( (-\frac{1}{9}, \frac{5}{2}) \).

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
\[
x \in \left(-\frac{1}{9}, \frac{5}{2}\right)
\]