Để giải phương trình \( \frac{7}{25} : x + \frac{4}{7} = \frac{4}{3} \), trước tiên ta đổi phép chia thành nhân với số đảo. Ta có:

\[
\frac{7}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4}{7} = \frac{4}{3}
\]

Dễ nhận thấy rằng \(\frac{1}{x}\) có thể viết lại thành \( \frac{7}{25x} \). Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{7}{25x} + \frac{4}{7} = \frac{4}{3}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ tìm một hệ số chung để dễ dàng giải phương trình này. Hệ số chung của \( 25x \), \( 7 \) và \( 3 \) là \( 525x \). Nhân toàn bộ phương trình với \( 525x \) để loại bỏ mẫu:

\[
525x \cdot \frac{7}{25x} + 525x \cdot \frac{4}{7} = 525x \cdot \frac{4}{3}
\]

Tính toán từng phần:

- Phần thứ nhất:
\[
525x \cdot \frac{7}{25x} = 21 \cdot 7 = 147
\]
- Phần thứ hai:
\[
525x \cdot \frac{4}{7} = 75x \cdot 4 = 300x
\]
- Phần thứ ba:
\[
525x \cdot \frac{4}{3} = 175x \cdot 4 = 700x
\]

Vậy phương trình trở nên:

\[
147 + 300x = 700x
\]

Giải phương trình trên, ta chuyển \( 300x \) sang bên phải:

\[
147 = 700x - 300x
\]
\[
147 = 400x
\]

Chia cả hai bên cho \( 400 \):

\[
x = \frac{147}{400}
\]

Vậy giá trị của \( x \) là:

\[
\boxed{\frac{147}{400}}
\]