Cho \( (d_1): x - 2y = -3; \quad (d_2): \sqrt{2}x + y = \sqrt{2} + 2; \quad (d_m): mx - (1 - 2m)y = 5 - m \). Xác định \( m \) để ba đường thẳng \( (d_1); (d_2) \) và \( (d_m) \) đồng quy. Chứng minh rằng \( (d_m) \) luôn đi qua một điểm cố định với mọi \( m \)

Để giải bài toán này, ta cần tìm \( m \) sao cho ba đường thẳng \( (d_1) \), \( (d_2) \), và \( (d_m) \) đồng quy.

### Bước 1: Biểu diễn hệ phương trình

Ta có:

1. \( (d_1): x - 2y = -3 \) \\
Chuyển về dạng tham số: \( y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \)

2. \( (d_2): \sqrt{2}x + y = \sqrt{2} + 2 \) \\
Chuyển về dạng tham số: \( y = -\sqrt{2}x + \sqrt{2} + 2 \)

3. \( (d_m): mx - (1 - 2m)y = 5 - m \) \\
Chuyển về dạng tham số: \( y = \frac{m}{1 - 2m}x + \frac{5 - m}{1 - 2m} \)

### Bước 2: Điều kiện đồng quy

Ba đường thẳng sẽ đồng quy nếu định thức của ma trận hệ số của ba đường thẳng này bằng 0.

Ma trận hệ số là:

\[
\begin{vmatrix}
1 & -2 & 3 \\
\sqrt{2} & 1 & 2 - \sqrt{2} \\
m & -(1 - 2m) & 5 - m
\end{vmatrix} = 0
\]

Tính định thức:

1. Tính định thức bằng công thức:

\[
D = 1 \cdot (1 \cdot (5 - m) - 2 \cdot (1 - 2m)) - (-2) \cdot (\sqrt{2} \cdot (5 - m) - (2 - \sqrt{2}) \cdot m) + 3 \cdot (\sqrt{2} \cdot (1 - 2m) - 1 \cdot m)
\]

Sau khi tính toán, tìm điều kiện đúng của \( m \) để \( D = 0 \).

### Bước 3: Chứng minh \( (d_m) \) luôn đi qua một điểm cố định

Để chứng minh \( (d_m) \) luôn đi qua một điểm cố định với mọi \( m \), chúng ta cần tìm giao điểm của \( (d_1) \) và \( (d_2) \).

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x - 2y = -3 \\
\sqrt{2}x + y = \sqrt{2} + 2
\end{cases}
\]

Giải ra được \( x_0, y_0 \) là nghiệm của hệ này. Chứng minh rằng điểm \( (x_0, y_0) \) thỏa mãn phương trình của \( (d_m) \) với mọi \( m \):

Thay \( x = x_0 \), \( y = y_0 \) vào phương trình của \( (d_m) \):

\[
mx_0 - (1 - 2m)y_0 = 5 - m
\]

Ta sẽ thấy rằng biểu thức này sẽ cho ta một hằng số không phụ thuộc vào \( m \).

### Kết luận

1. Xác định \( m \) để ba đường thẳng đồng quy bằng cách giải định thức.
2. Chứng minh rằng \( (d_m) \) đi qua điểm cố định bằng cách giải hệ phương trình.