Có bao nhiêu phân số bằng phân số 15/45 mà cả tử số và mẫu số đều có 3 cấp số?

Để tìm số phân số bằng phân số \( \frac{15}{45} \) sao cho cả tử số và mẫu số có 3 chữ số, đầu tiên ta rút gọn phân số này.

Phân số \( \frac{15}{45} \) có thể rút gọn như sau:
\[
\frac{15 \div 15}{45 \div 15} = \frac{1}{3}
\]
Vậy, phân số này bằng \( \frac{1}{3} \).

Tiếp theo, ta cần tìm các phân số có dạng \( \frac{n}{m} \) mà \( \frac{n}{m} = \frac{1}{3} \). Điều này có nghĩa là tử số \( n \) phải bằng \( \frac{m}{3} \).

Giả sử tử số \( n \) và mẫu số \( m \) đều có 3 chữ số, ta viết:
- Tử số \( n = 100a + 10b + c \) (với \( a, b, c \) là các chữ số)
- Mẫu số \( m = 100d + 10e + f \) (với \( d, e, f \) là các chữ số)

Vì \( n = \frac{m}{3} \), suy ra \( m \) phải là bội số của 3. Ta xem xét các mẫu số từ 100 đến 999, tức là các số có 3 chữ số.

Mẫu số \( m \) có thể có các giá trị như sau, và phải đảm bảo rằng \( m \) chia hết cho 3:

1. Tìm bội số của 3 từ 100 đến 999:
- Bội số nhỏ nhất của 3 lớn hơn hoặc bằng 100 là 102.
- Bội số lớn nhất của 3 nhỏ hơn hoặc bằng 999 là 999.
- Số lượng bội số của 3 trong khoảng này được tính bằng:
\[
\text{Số bội số} = \frac{999 - 102}{3} + 1 = \frac{897}{3} + 1 = 299 + 1 = 300.
\]

2. Đối với mỗi mẫu số \( m \), ta có tử số \( n = \frac{m}{3} \). Để đảm bảo tử số cũng có 3 chữ số, ta cần kiểm tra điều kiện cho \( m \):
- Mẫu số \( m \) phải nằm trong khoảng \( 100 \leq m < 1000 \).
- Tử số \( n \) cũng phải có 3 chữ số, tức là \( 100 \leq n < 1000 \).

Khi mẫu số \( m \) thay đổi từ 102 đến 999, nếu \( m \) là bội số của 3 thì tử số \( n \) sẽ luôn có 3 chữ số vì:
\[
100 \leq \frac{m}{3} < 1000 \quad \Rightarrow \quad 300 \leq m < 3000.
\]
Vì \( m \) chỉ có giá trị tối đa là 999, điều kiện này sẽ không bị vi phạm.

Cuối cùng, cả tử số \( n \) và mẫu số \( m \) đều có 3 chữ số khi \( m \) là bội số của 3 trong khoảng từ 102 đến 999. Ta đã biết có 300 bội số của 3 trong khoảng này, do đó, có **300 phân số** bằng phân số \( \frac{15}{45} \) mà cả tử số và mẫu số đều có 3 chữ số.