Tồn tại hay không các số nguyên \( a, b, c \) sao cho: \( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 30 014\)

Để giải phương trình \( a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 30,014 \), ta có thể sử dụng biến đổi sau:

Bắt đầu với phương trình:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc
\]

Ta có thể viết lại bằng cách nhóm các biến:

\[
= \frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right)
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)
\]

Vì vậy, ta có thể viết lại điều kiện của bài toán như sau:

\[
\frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right) = 30,014
\]

Hay là:

\[
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 60,028
\]

Giả sử \( x = (a-b)^2 \), \( y = (b-c)^2 \), \( z = (c-a)^2 \), ta có:

\[
x + y + z = 60,028
\]

Mặt khác, \( x, y, z \) đều là các số nguyên không âm (vì là bình phương của các số nguyên). Chúng ta cần tìm nghiệm nguyên \( x, y, z \) sao cho tổng này bằng \( 60,028 \).

Ta thấy \( x, y, z \) không thể lớn hơn \( 60,028 \) và việc tìm kiếm các giá trị này chỉ phải đảm bảo rằng tất cả các giá trị phải là số nguyên không âm.

Ta có thể dễ dàng thấy rằng có nhiều cách kết hợp các số nguyên không âm sao cho tổng của chúng bằng \( 60,028 \) (ví dụ, chọn \( x = 0 \), \( y = 0 \), và \( z = 60,028 \), hoặc các biến đổi khác).

Vì vậy, tồn tại các số nguyên \( a, b, c \) thỏa mãn:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 30,014.
\]