Để chứng minh \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \), ta bắt đầu bằng cách vẽ đường tròn (O) với tâm O và bán kính R. Giả sử điểm M nằm bên trong đường tròn. Từ điểm M, ta kẻ hai dây cung AB và CD, trong đó A và B là hai điểm trên đường tròn tạo thành dây cung AB, C và D là hai điểm trên đường tròn tạo thành dây cung CD.

### Bước 1: Vẽ hình
1. Vẽ một đường tròn (O).
2. Đánh dấu một điểm M nằm bên trong đường tròn.
3. Kẻ 2 đường thẳng MA, MB và MC, MD, sao cho A, B, C, D đều nằm trên đường tròn.

Hình vẽ sẽ như sau:

```
D
*
* *
* *
* *
* *
* *
* O *
* *
* *
* *
* *
*
C

M
```

### Bước 2: Chứng minh
Theo định nghĩa, độ dài của dây cung trong một đường tròn được tính bằng cách nhân độ dài từ điểm trung tâm đến điểm trên đường tròn với chiều dài của cung. Áp dụng định lý trên, ta có:

- Xét tam giác OMA và OMB:
Ta có \( OA = OB = R \) (bán kính của đường tròn)
- Theo định lý Cosine:
- \( MA^2 = OA^2 + OM^2 - 2 \cdot OA \cdot OM \cdot \cos (\angle OMA) \)
- \( MB^2 = OB^2 + OM^2 - 2 \cdot OB \cdot OM \cdot \cos (\angle OMB) \)

Do đó:

\[
MA \cdot MB = (R^2 - OM^2 + MA^2)(R^2 - OM^2 + MB^2)
\]

- Tương tự xét cho tam giác OMC và OMD, ta cũng có:

\[
MC \cdot MD
\]

### Bước 3: Áp dụng định lý về tứ giác nội tiếp
Rõ ràng là tứ giác AMBD nội tiếp đường tròn vì A, B, C, D đều nằm trên đường tròn. Theo định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp chúng ta có:

\[
MA \cdot MB + MC \cdot MD = OA \cdot OC + OB \cdot OD
\]

Khi đó:

\[
MA \cdot MB = MC \cdot MD
\]

### Kết luận
Do đó, ta có:

\[
MA \cdot MB = MC \cdot MD
\]

Vậy là ta đã chứng minh được \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).