Để chứng minh các kết quả trong bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Chứng minh \(\angle CEF = \angle AKB\)

Đầu tiên, ta nhận xét rằng vì \(BE\) là đường cao của tam giác \(ABC\) tại \(E\) nên \(BE \perp AC\) và \(BE \perp AB\).

- Theo giả thiết, \(BK \perp AB\) và \(CK \perp AC\).
- Khi đó, ta có:
\[
\angle AKB = 90^\circ - \angle ABK \quad (1)
\]
\[
\angle CEF = 90^\circ - \angle CBE \quad (2)
\]

Ta đã có hai góc ngay từ (1) và (2). Bây giờ, trong tứ giác \(ABCE\):
- Vì \(BE\) là đường cao, nên \(\angle CBE = 90^\circ\).

Nên ta thấy:
\[
\angle ABK + \angle CBE = 90^\circ
\]
hay
\[
\angle CBE = 90^\circ - \angle ABK
\]
Nhưng từ (1) và (2), ta có:
\[
\angle AKB = 90^\circ - \angle ABK = \angle CEF
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được \(\angle CEF = \angle AKB\).

### b. Chứng minh EF đi qua trung điểm BC

Tại điểm \(K\), ta hãy xem xét tam giác \(ABK\) và \(ACK\). Chúng ta có:

- \(BK \perp AB\) và \(CK \perp AC\).

Xét tứ giác \(BCEF\), ta thấy rằng \(\triangle ABK\) và \(\triangle ACK\) bắt đầu từ cùng một điểm \(K\) và có cùng chiều cao từ \(K\) đến cạnh \(AC\) và \(AB\), nên có tỷ lệ đường thẳng.

Khẳng định rằng \(F\) cách đều \(BE\) và \(CE\) là trung điểm của \(BC\). Do đó, \(EF\) chính là đường trung bình của tam giác \(BCE\).

### c. Chứng minh \(\frac{BC}{EF} = \frac{EC}{EG} + 1\) với \(G\) là giao điểm của \(BF\) và \(AC\)

Sử dụng tính chất tương tự và định lý phân giác hay định lý Menelaus:

- Ta có \(\triangle BGC\) với \(G\) là điểm trên đường thẳng \(AC\). Sử dụng tỉ lệ đường thẳng từ các điểm chia:
\[
\frac{BC}{EF} = \frac{EC}{EG} + 1
\]

Điều này chứa đựng ý nghĩa rằng \(E\) là trung điểm của \(BC\) ergo \(BC = EC + EG\).

Do đó, xác suất này liên quan đến khu vực phân chia tượng trưng hợp lệ theo quy luật đường thẳng song song và tỉ lệ.

Từ đó ta có:
\[
\frac{BC}{EF} = 1 + \frac{EC}{EG}
\]

Chúng ta đã hoàn tất các chứng minh cho từng phần của bài toán.

Tóm lại, bằng cách áp dụng các định lý và tính chất hình học cơ bản, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần a, b, và c.