Viết M = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4...+ 2^2022 dưới dạng luỹ với cơ số 2

Để biểu diễn \( M = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{2022} \) dưới dạng luỹ thừa với cơ số 2, ta có thể viết lại các hạng tử trong biểu thức.

Đầu tiên, nhận thấy rằng \( 4 \) có thể được viết là \( 2^2 \). Vậy ta có thể viết lại biểu thức \( M \) như sau:

\[
M = 2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{2022}
\]

Giờ đây, nhóm các hạng tử \( 2^2 \):

\[
M = 2^2 + (2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{2022})
\]

Ta có thể tách hạng tử đầu ra:

\[
M = 2^2 + 2^2(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2020})
\]

Gọi \( S = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2020} \). Đây là một chuỗi hình học với \( a = 1 \) (hạng tử đầu tiên) và \( r = 2 \) (khoảng cách giữa các hạng tử). Số hạng cuối là \( 2^{2020} \), và số hạng của chuỗi là \( n = 2021 \) (từ 0 đến 2020).

Công thức tổng của chuỗi hình học là:

\[
S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Áp dụng vào trường hợp này:

\[
S = \frac{1(1 - 2^{2021})}{1 - 2} = 1 - 2^{2021}
\]

Vậy \( S = 1 - 2^{2021} \).

Thay thế \( S \) vào biểu thức \( M \):

\[
M = 2^2 + 2^2(1 - 2^{2021}) = 2^2 + 2^2 - 2^{2023} = 2^{3} - 2^{2023} = 2^{3} - 2^{2023}
\]

Cuối cùng, nhận thấy rằng:

\[
M = 2^2 (1 + (1 - 2^{2021}))
\]

Vì vậy, ta có thể viết \( M \) như sau:

\[
M = 2^3 - 2^{2023}
\]

Do đó, \( M \) được viết dưới dạng luỹ thừa với cơ số 2 là:

\[
M = 2^{3} - 2^{2023}
\]

Nếu bạn muốn biểu diễn một cách rõ ràng hơn, có thể tùy chỉnh lại theo nhu cầu.